关于非扩张映射不动点问题粘性迭代算法强收敛定理

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1、＾＾／Ｔ＼Ｍａｌ！ｍｔ＾＾5ｉ：ｕｎｈａ数学物理学报－ｈｔｔｍ．：ｔ．ｗ．201535Ａ3：487502ｐ／／ａｃａｍｓｉｐａｃｃｎ，（）关于非扩张映射的不动点问题的粘性迭代算法的强收敛定理＊蔡钢（重庆师范大学数学科学学院重庆市401331）一摘要：弓映射的性质后在ａｎａｃｈ空该文首先研究吸丨非扩张，然致光滑Ｂ间里，用这些性质研究两个非扩张映射的不动点问题的粘性迭代算法．作为应用，在Ｂａｎａｃｈ空闻或Ｈｉｌｂｅｒｔ空间里得到了关于变分不等式问题不动点问题和均衡问题的强收敛定理．所得结果提高和推广，，了许多最近

2、的相关结果．：．关键词不动点；变分不等式ａｎａｃｈ空间；强收敛；非扩张映射；ＢＭＲ2010主题分类：49Ｊ3047Ｈ1047Ｈ17中图分类号：0177．91文献标识码：Ａ（）；；－－－文章编号：1003399820150348716（）1引言设五和为实Ｂａｎａｃｈ空间与Ｅ的对偶空间．用Ｆ（Ｔ）记Ｔ的不动点集，其中ｒ为＇ｅＪ：Ｅ＾2非线性映射．正规对偶映射定义为＊＊＊2＊Ｊｘ＝ｘＧＥｘｘ＝ｃｃａ：＝＾Ｖｘ6￡．）：｛｛，）｜｜｜｜，｜｜｜｜ｌｌｌｌ｝，｜Ｂ一．些基本概念Ｅａｎａｃｈ

3、．众所周知，记作ｊ现在回忆空间中，若光滑，则Ｊ是单值的ｃｘ＝＝1＜1．ＥＥ称为严格凸的ｃＧＥＲ／，若对任意，ｙ，參ｙ，丨丨对｜ｊ，则有｜｜｜｜宁｜｜一＝ｅ＞5＞0ａ：ｅＥ＝1称为致凸的，0，存在常数使得，对于，ｙ，当，若对任意｜刈｜｜ｙ｜｜｜―－工＜ｌ5．｜ｈ时，有丨丨ｙ｜丨丨宁｜｜Ｅ的0—0光滑模ｐｂ：ｏｏｏｏ，，定义为）［）［－ｉ一＜ｔ＝ｓｕａＥ．；＋ｘ1：ｘｅＳＰＥ＋，（）ｐ（｜｜ｙ＼＼ｙ｜）（）｜ｙ｜＼＼｜｜｜｜—一—－Ｅ称为致光滑的—00

4、．丑称致光滑的若存在常数，若当ｆ时，有ｆ为ｇ，一一＂－ｃ＞0ｔ么ｃｔ．Ｅ致光滑的2．使得众所周知，贝“幺且￡是致光滑的ｐＥ，若是ｑ〔）－－－－收稿日期：20140317日：20141217；修订期－ｍａｃａａｎ－ａａａａ＠Ｅ．ｃｏｍｉｌ：ｉｇｇ163＊基金项目：国家自然科学基金11171172，11401063、高等学校博士学科点专项科研基金20120002110044）、（）（ｓ04ｃＡ014ＸＬＢ002助重庆市自然科学基金（ｃｔｅ21ｊｙｊ0016）和重庆师范大学博士启动基金（）资488数学物理学报Ｖｏｌ．

5、35Ａ设Ｃ和Ｄ为Ｂａｎａｃｈ空间Ｅ的两个非空子集使得Ｃ是非空闭凸的且￡？Ｃ映射Ｐ＾ＤＷ一Ｐ：Ｃ称为向阳的：ｃｔｘｘｅＣ时若当＋，有，（（））Ｐ－Ｐｘ＝ｘＰｘＶａ＞．ｘ＋ｔ｛：£Ｃｔ0（｛）））（），，Ｐ—ＤＰ＝／￡＞．ＰＣ到￡＞上：Ｃ称为拉回ａ：ｒ＼ａ；£，若，称为从的向阳非扩张拉回映射，ＰＤ上的Ｄ若是Ｃ到拉回且是非扩张的．Ｃ中子集称为Ｃ的向阳非扩张拉回，若存在＂一到乃上的向阳非扩张拉回映射个从Ｃ．命题1．1＾Ｂａｎａｃｈ；的闭凸子集＞Ｃ的．：—设Ｃ为空间￡，￡为

6、子集设ＰＣ拉Ｊ回映射且为Ｅ中正规对偶映射，则下面命题等价（ａ）Ｐ是向阳非扩张的．－＜－￣ｂｘＰｘＰｘＰＶｘ6Ｃ．）ｙｙ，Ｊ｛ｙ），，ｙ（＼＼Ｐｆ（｝——ＤｃｘＰｘＪＰｘ＜0＾ｘｅＣ．，，，（）｛（ｙ））ｙ￡一11．2Ｐ￡ｒ：ｃ—致光滑的（7命题若是严格凸的且是，为非扩张映射且其不动点ＦＴＦｒ集为是ｃ中向阳非扩张拉回集．（，则）（）映射称为非扩张的，若Ｔ－Ｔ＜ａ－Ｖｘｘ；£Ｃ．1．1／，，＼＼ｙ＼＼｜｜2｜｜ｊ／（）－＾－－ｍＭＴ：ＣＣ称为固定非扩张

7、的若存在ｘｅＪｘ使得，ｊ（ｙ）（ｙ）Ｔ－Ｔ＜Ｔ—Ｔ－ｘｘｅＣ．1ｘｘ．2ｊ＾，＼＼ｙｆ（ｙ，（ｙ））ｙ（）1．1ｉｅｒ1．2注若Ｅ为Ｈｌｂｔ空间，则（）式等价于2－－Ｔ＜Ｔ－ＴＴｘｘｘｘＧＣ．，，＼＼ｙ＼＼（ｙｙ）ｙ因此Ｂａｎａｄｉ空间中固定非扩张映射的定义包含Ｈｉｌｂｅｒｔ空间中固定非扩张映射的定义作为特殊情况．Ｔ称为吸引非扩张的，若它是非扩张的且满足—－Ｔｘ＜ｘＶｘＦＴｅＦＴ．，，＼＼ｐ＼＼｜｜ｐ｜｜＾（）ｐ（）－ＡＣ＾Ｅ－£ｘ－称为增生的，若存在办ｙ

8、Ｊ使得）（ｙ）－－ＡｘＡｘ＞0Ｖｘ￡Ｃ．1．3（ｙ，ｊｙ，，ｙ（））（）