关于非扩张映射的不动点问题的粘性迭代算法的强收敛定理-论文.pdf

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1、数学物理学报http：／／actams．wipm．ac．an关于非扩张映射的不动点问题的粘性迭代算法的强收敛定理蔡钢(重庆师范大学数学科学学院重庆市401331)摘要：该文首先研究吸引非扩张映射的性质，然后在一致光滑Banach空间里，用这些性质研究两个非扩张映射的不动点问题的粘性迭代算法．作为应用，在Banach空间或Hilbert空间里，得到了关于变分不等式问题，不动点问题和均衡问题的强收敛定理．所得结果提高和推广了许多最近的相关结果．关键词：不动点；变分不等式；强收敛；非扩张映射；Banach空间．MR(2010)主题分类：49J30；47

2、H10；47H17中图分类号：0177．91文献标识码：A文章编号：1003—3998(2015)03—487-161引言设E和E为实Banach空间与E的对偶空间．用F(T)记的不动点集，其中为非线性映射．正规对偶映射J：E一2E定义为()={∈E：(，)=Ilxll。，llll=llz_1)，V∈E众所周知，若E光滑，则J是单值的，记作J．现在回忆Banach空间中一些基本概念．E称为严格凸的，若对任意X，Y∈E，X≠Y，且IxlI=l=1，则有ll字ll<1．E称为一致凸的，若对任意E>0，存在常数>0使得，对于X，Y∈E，当『txlI=l

3、=1，Ix—llE时，有Il苎ll<1—．E的光滑模PE：[0，o。)一[0，。。)定义为E()=sup{~(1l+ll+ll一II)一1：∈s(E)，IlIl)E称为一致光滑的，若当t一0时，有一0．E称为q一一致光滑的，若存在常数c>0使得pE(t)atq．众所周知，若E是q一一致光滑的，则q2且E是一致光滑的．收稿日期：2014—03—17；修订日期：2014-12—17E-mail：caigang-aaaa@163．com基金项目：国家自然科学基金(11171172，11401063)、高等学校博士学科点专项科研基金(2012000211

4、0044)、重庆市自然科学基金(cstc2014jcyjA00016)和重庆师范大学博士启动基金(14XLB002)资助数学物理学报VlO1．35A设C和D为Banach空间E的两个非空子集使得C是非空闭凸的且DcC，映射P：C—D称为向阳的【1】．若当X+t(x—P())∈C时，有P(x+t(x—P()))=P()，VX∈C，t0映射P：C—D称为拉回，若P=X，VX∈D．P称为从c到D上的向阳非扩张拉回，若P是c到D上的拉回且是非扩张的．c中子集J[)称为的向阳非扩张拉回，若存在一个从C到D上的向阳非扩张拉回映射．命题1．1[1]设c为Ban

5、ach空间E的闭凸子集，D为的子集．设P：C—D拉回映射且为E中正规对偶映射．则下面命题等价(a)P是向阳非扩张的．(b)IIPx—Pul(X—Y，J(Px—PY))，VX，YEC．(C)(—P，J(y—Px))0，V∈C，Y∈D．命题1．2[2]若E是严格凸的且是一致光滑的，T：C—为非扩张映射且其不动点集为F()，则F(T)是中向阳非扩张拉回集．映射T：C—C称为非扩张的，若Tx—TylI—ylI，VX，Y∈C映射T：C—C称为固定非扩张的，若存在．j(—Y)∈J(x—Y)使得IITx—Tyll(Tx—Ty，j(z一))，VX，Y∈C．(1．

6、2)注1．1若E为Hilbert空间，则(1．2)式等价于IITx—Tyll(Tx—Ty，X—Y)，VX，Y∈C．因此Banach空间中固定非扩张映射的定义包含Hilbert空间中固定非扩张映射的定义作为特殊情况．称为吸引非扩张的，若它是非扩张的且满足Tx—pll0使得(Ax—Ay，j(x一))2Jlax—Ayll，VX，YEC．(1．4

7、)T：C—C称为一严格伪压缩的【3lj若存在常数>0使得对于任意，Y∈C和j(x—Y)∈J(x一)，有(Tx—Ty，(一))lIx一1l一I1(I—T)x一(I—T)Yll．(1．5)变分不等式理论已经成为研究理论和应用数学中的许多问题的一个重要工具，已经发展了一些解决变分不等式的迭代算法，见文献[4_9】．No．3蔡钢：关于非扩张映射的不动点问题的粘性迭代算法的强收敛定理489设C为实Hilbert空间日的非空闭凸子集，A：C--4H为非线性映射．经典的变分不等式就是找X满足(Ax，X—X)0，V∈C(1．6)最近，Ceng[]考虑了下面一般变

8、分不等式问题：找x，Y)∈C×C满足+一，—)。，VxEC,(1(B．7)+一，一)0，V∈，‘其中>0和>0为两个常数，，B：一日为非