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1、§6.2不动点迭代法及其收敛定理第6章方程与方程组的迭代解法一、迭代法原理--------(2)将非线性方程f(x)=0化为一个同解方程继续--------(3)称(3)式为求解非线性方程(2)的简单迭代法则称迭代法(3)收敛,否则称为发散--------(4)例1.解:(1)将原方程化为等价方程显然迭代法发散(2)如果将原方程化为等价方程仍取初值x2=0.9644x3=0.9940x4=0.9990x5=0.9998x6=1.0000x7=1.0000依此类推,得已经收敛,故原方程的解为同样的方程不同的迭代格式有不同的结果
2、什么形式的迭代法能够收敛呢?迭代函数的构造有关如果将(2)式表示为与方程(2)同解收敛发散定理1.--------(5)--------(6)--------(7)(局部收敛性)迭代过程的收敛性证:由条件(1)由根的存在定理,证:由由微分中值定理证毕.定理1指出,只要构造的迭代函数满足由(6)式,只要因此,当迭代就可以终止,--------(8)定义1：如果存在的某个邻域，使迭代过程对于任意初值均收敛，则称迭代过程在根邻近具有局部收敛性。例2.用迭代法求方程的近似解,精确到小数点后6位解:本题迭代函数有两种构造形式因此采用迭
3、代函数d1=0.1000000d2=-0.0105171d3=0.1156e-002d4=-0.1265e-003d5=0.1390e-004d6=-0.1500e-005d7=0.1000e-006由于
4、d7
5、=0.1000e-006<1e-6因此原方程的解为x7=0.090525x1=0.1000000x2=0.0894829x3=0.0906391x4=0.0905126x5=0.0905265x6=0.0905250x7=0.0905251由定理1的(7)式出,迭代法收敛就越快定义1.--------(9)迭代法收敛
6、速度定理3.例解:本题迭代函数有两种构造形式,迭代法发散.(2)迭代法收敛.(1)Newton迭代法将f(x)在点xn作Taylor展开:——Taylor展开线性化f(x)=0近似于f(xn)+f′(xn)(x-xn)=0(1)从(1)解出x,记为xn+1,则1.Newton迭代公式建立它对应的迭代方程为显然是f(x)=0的同解方程，故其迭代函数为在f(x)=0的根x*的某个邻域内,在x*的邻域R内，对任意初值，应用公式（2）来解方程的方法就称为牛顿迭代法。它是解代数方程和超越方程的有效方法之一.2.Newton迭代法的几何
7、意义与x轴(y=0)的交点x,作为下一个迭代点xn+1,即用f(x)在xn处的切线Newton迭代法又称切线法.例用Newton迭代法求下面方程的一个正根,计算结果精确到7位小数.解:由Newton迭代法由Newton迭代法x1=1.4666667,…,x4=1.3688081x5=1.3688081迭代5次精度达10-7x*≈1.3688084.Newton迭代法收敛定理（1）Newton迭代公式在单根情况下至少2阶收敛;（2）定理设f(x*)=0,,且在x*的邻域上存在,连续,则可得证：将f(x)在xn处作2阶Taylo
8、r展开,并将解x*代入注意到ξn在xn及x*之间,及,故所以，Newton法至少二阶收敛.注意到ξn在xn及x*之间,及,故例3.为线性收敛证明:所以例4.至少是平方收敛的由定义1注意例4与例3的迭代法是相同的,两例有何区别?证明:令则所以由定理2该迭代法至少是平方收敛的Newton迭代公式是一种特殊的不动点迭代,其迭代矩阵为:Newton迭代是局部线性化方法,它在单根附近具有较高的收敛速度.方法有效前提:Newton迭代法的特征5.Newton迭代法的应用----------开方公式对于给定正数应用牛顿迭代法解二次方程可导
9、出求开方值的计算公式设是的某个近似值，则自然也是一个近似值，上式表明，它们两者的算术平均值将是更好的近似值。定理开方公式对于任意给定的初值均为平方收敛。牛顿迭代法的优缺点优点：在单根附近,牛顿迭代法具有平方收敛的速度，所以在迭代过程中只要迭代几次就会得到很精确解。缺点:1.重根情形下为局部线性收敛;2.牛顿迭代法计算量比较大:因每次迭代除计算函数值外还要计算微商值;3.选定的初值要接近方程的解，否则有可能得不到收敛的结果;牛顿迭代法的改进缺点克服:1.局部线性收敛------改进公式或加速2.每步都要计算微商值-----简化
10、Newton迭代法或弦截法3.初值近似问题-------二分法求初值或”下山算法”方法一.若已知重数m(m>1),则利用m构造新的迭代公式:此时,,至少2阶收敛.不实用:m往往不确定.方法二.取,再对函数F(x)用Newton迭代:此时,X*为F(x)的单根,所以是2阶收敛.但要用到二阶导
