6.2 不动点迭代法及其收敛定理

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1、第7章方程与方程组的迭代解法§7.2不动点迭代法及其收敛定理一、迭代法原理将非线性方程f(x)=0化为一个同解方程x(x)--------(2)并且假设(x)为连续函数任取一个初值x,代入(2)的右端,得0x(x)10继续x(x)21x(x)(k0,1,2,)--------(3)k1k称(3)式为求解非线性方程(2)的简单迭代法称()x为迭代函数称为第步迭代值,xkk如果存在一点xx*,使得迭代序列{}满足klimxx*k--------(4)k则称迭代法(3)收敛,否则称为发散3例1.用

2、迭代法求解方程2xx10解:(1)将原方程化为等价方程3x2x1如果取初值x0,由迭代法(3),得0x003x2x11103x2x13213x2x15532显然迭代法发散(2)如果将原方程化为等价方程x1x32仍取初值x001x13x300.7937122x11.7937x3130.9644222同样的方程依此类推,得x2=0.9644x3=0.9940不同的迭代格式x4=0.9990有不同的结果x5=0.9998迭代函数的构造有关x6=1.0000x7=1.00

3、00什么形式的迭代法已经收敛,故原方程的解为能够收敛呢?x1.0000yx如果将(2)式表示为与方程(2)同解yxy(x)yxy(x)收敛y(x)Oxxx*xx1320Ox*xxx210(x)在x*附近较平缓y(x)yxyx发散y(x)Oxxxx*210Oxxx*xx3102(x)在x*附近较陡峭迭代过程的收敛性定理1.设迭代函数()[,]x在ab上连续且满足,(1)当时x[,],aba()xb;(2)存在一正数满足L,0L1,且x[,],ab有

4、(x)

5、L---

6、-----(5)o则1.方程x()[,]x在ab内有唯一解x*2.o对于任意初值x[,],ab迭代法x(x)均收敛于x*01kk(局部收敛性)oL3.xx*xxk1Lkk1--------(6)koL4.xx*xxk10--------(7)1L证:设f(x)x(x),则f(x)在[a,b]上连续可导由条件(1)f(a)a(a)0f(b)b(b)0由根的存在定理,方程f(x)0在[a,b]上至少有一个根证:由

7、(x)

8、L1f(x)1(x)0则f(x)在[a

9、,b]上单调递增,f(x)0在[a,b]上仅有一个根o所以1.方程x(x)在[a,b]内有唯一解x*o2.对于迭代法x(x),k1k由微分中值定理xk1x*(xk)(x*)()(xkx*)xx(x)(x)()(xx)k1kkk1kk1由于

10、(x)

11、LxxLxxk1kkk1xxk1kLxkxk1xk1x*Lxkx*Lxx*(xx)k1k1kLxx*L(xx)k1k1kLxx*xxk1k1k1LLxx*

12、xxkkk11L2Lxxk1k21LkLxx101L由于L1,lim(xkx*)0k因此对任意初值x,迭代法x(x)均收敛于x*0k1kLkLxkx*xkxk1x1x01L1L证毕.定理1指出,只要构造的迭代函数满足

13、()

14、xL1迭代法x(x)就收敛k1k数值分析控制误差ε的方法：(1)先计算满足误差要求的迭代次数n，再迭代。由nL

15、x

16、

17、xx

18、n101L可得(1L)ln

19、xx

20、10nlnL(2)事后误差估计法。由于L

21、x

22、

23、

24、xx

25、n1Lnn1数值分析对于预先给定的误差限即要求

26、xkx*

27、由(6)式,只要Lxxkk11L1L因此,当xkxk1L--------(8)迭代就可以终止,x可以作为方程的近似解k定义1：如果存在*的某个邻域*，使迭代过程xR:xxxk1(xk)对于任意初值x0R均收敛，则称迭代过程x(x)在根x*邻近具有局部收敛性。k1k定理2**若是的不动点xx,在的某邻域上存在*且连续并满足,0

28、()

29、1,x则迭代过程*x(x).在的邻域是线性x收敛的kk1例

30、2.用迭代法求方程的近似解,精确到小数点后6位xe10x20x解:由于e0,则210x0x0.2x0时,x0e1,210x2因此[0,0.2]为有根区间本题迭代函数有两种构造形式x2ex(x)x2(x)ln(210x)11