相似三角形的判定和性质

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1、相似三角形的判定和性质知识讲解1.比例线段：对于四条线段a，b，c，d，如果其中两条线段的长度的比与另两条线段的长度的比相等，ac即（或a:b=c:d）那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段．bd在两条线段的比a：b中，a叫做比的前项，b叫做比的后项．ab如果作为比例内项的是两条相同的线段，即或a：b=b：c，那么线段b叫做线段a，c的比bc例中项．比例的性质（1）基本性质①a：b=c：dad=bc2②a：b=b：cbac（2）更比性质（交换比例的内项或外项）ab（交换内项）cdacdc（交换外项）bdbadb（同时交换内项和外项）ca（3）反

2、比性质（交换比的前项、后项）：acbdbdac（4）合比性质：acabcdbdbd（5）等比性质：acemacema(bdfn0)bdfnbdfnb黄金分割把线段AB分成两条线段AC，BC（AC>BC），并且使AC是AB和BC的比例中项，叫做把线段51AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点，其中AC=AB0．618AB22APB如图，若PAPBAB，则点P为线段AB的黄金分割点．2.平行线分线段成比例定理：①定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例，如图：l1∥l2∥l3．ABDEABDEB

3、CEF=;=;=.BCEFACDFACDF②推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例．③定理：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边．3.相似多边形的性质：相似多边形的对应角相等，对应边的比相等．4.相似三角形的概念：对应角相等，对应边之比相等的三角形叫做相似三角形．5.相似三角形的性质（1）对应角相等，对应边的比相等；（2）对应高的比，对应中线的比，对应角平分线的比都等于相似比；（3）相似三角形周长之比等于相似比；面积之比等于相似比的平方．6.相似三角形的预备定理：平行于三角形

4、一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所截成的三角形与原三角形相似．7.相似三角形的判定定理：(1)三角形相似的判定方法与全等的判定方法的联系列表如下：类型斜三角形直角三角形全等三角形的判定‘SSS’‘SAS’‘AAS（ASA）’HL两边对应一条直角边相似三角形三边对应成比例夹两角对应相等与斜边对应的判定成比例角相等成比例从表中可以看出只要将全等三角形判定定理中的“对应边相等”的条件改为“对应边成比例”就可得到相似三角形的判定定理，这就是我们数学中的用类比的方法，在旧知识的基础上找出新知识并从中探究新知识掌握的方法．8.相似三角形的判定方法（1）三角形相似的判定方法①

5、定义法：对应角相等，对应边成比例的两个三角形相似②平行法：平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似③判定定理1（AA）：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似，可简述为两角对应相等，两三角形相似．④判定定理2（SAS）：如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应相等，并且夹角相等，那么这两个三角形相似，可简述为两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似．⑤判定定理3（SSS）：如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似，可简述为三边对应成比例，两三角形相似（2

6、）直角三角形相似的判定方法①以上各种判定方法均适用②定理（HL）：如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似①垂直法：直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似．9.相似三角形中的基本图形：（1）平行型：（2）交错型：AAAEDEDDBCBCBC（3）旋转型：（4）子母型：CAEDBCADB（5）其他：10.双垂直条件下的计算与证明问题：“双垂直”指：“Rt△ABC中，∠BCA=90°，CD⊥AB于D”（如图），结论有：（1）△ADC∽△CDB∽△ACB（2）由△ADC∽△CDB得CD2=AD·

7、BD（3）由△ADC∽△ACB得AC2=AD·AB（4）由△CDB∽△ACB得BC2=BD·AB（5）由面积得AC·BC=AB·CD（6）勾股定理第一部分：比例线段例题精讲【例1】下列各组线段（单位：㎝）中，成比例线段的是（）A．1、2、3、4B．1、2、2、4C．3、5、9、13D．1、2、2、3【例2】若a3m,m2b，则a:b_____．【例3】已知a,b,c是△ABC的三条边，对应高分别为hhhab,,c，且a:b:c4:5:6，那么hhha,,bc等于（）A．4：5：6B．6：5：4C．15：12