平方根、立方根

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1、年级初二学科数学编稿老师巩建兵课程标题平方根、立方根一校林卉二校张琦锋审核王百玲一、考点突破1.对“平方根”的中考要求：了解平方根、算术平方根的概念，以及用根号表示数的平方根和算术平方根，了解开方与乘方互为逆运算，会用平方运算求某些非负数的平方根和算术平方根，本讲内容是中考命题的重点，常以填空题、选择题及判断题的形式出现，分值为2～3分，以考查对平方根、算术平方根的理解程度为主。2.对“立方根”的中考要求：会求一个数的立方根，并会解决一些较简单的实际问题，在命题的方向和题型设置上，题型以填空题、选择题为主，分值为2～3分。考查对立方根的概念、性质的掌握情况，常与平方根的概念综合考查，有时也与相

2、反数、绝对值等知识综合在一起考查。二、重、难点提示重点：求一个数的算术平方根、平方根、立方根；难点：算术平方根、平方根、立方根的性质及应用。一、知识列表定义表示方法性质算术平方根如果一个正数x的平方等于a，即x2＝a，那么这个正数x叫做a的算术平方根。（a≥0）①正数有一个算术平方根②负数没有算术平方根③0的算术平方根是0平方根如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根（或二次方根），即如果x2＝a，那么x叫做a的平方根。±（a≥0）①正数有两个平方根，它们互为相反数②负数没有平方根③0的平方根是0立方根如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根或三次方根，这就是说，如果x3＝a，

3、那么x叫做a的立方根。①正数的立方根是正数②负数的立方根是负数③0的立方根是0二、规律方法：被开方数和方根的关系1.被开方数与算术平方根的关系：被开方数扩大（缩小）为原来的100倍（）时第8页版权所有不得复制，它的算术平方根会相应地扩大（缩小）为原来的10倍（）。2.被开方数与立方根的关系：被开方数扩大（缩小）为原来的1000倍（）时，它的立方根相应地扩大（缩小）为原来的10倍（）。能力提升类例1求下列各数的平方根。（1）；（2）（－0.49）×（－1.21）；（3）1－（）2；（4）8.42＋3.52。一点通：求平方根，应先将每一个数进行化简。答案：（1）＝4，∵（±2）2＝4，∴的平方根是

4、±2；（2）（－0.49）×（－1.21）＝0.49×1.21，∵（±0.7×1.1）2＝0.49×1.21，∴（－0.49）×（－1.21）的平方根是±0.77；（3）1－（）2＝1－＝，∵（±）＝，∴1－（）2的平方根是±；（4）8.42＋3.52＝82.81，∵（±9.1）＝82.81，∴8.42＋3.52的平方根是±9.1。点评：本题主要考查对平方根概念的理解和开平方运算。解答这类题时要注意合理运用乘方运算法则，寻找简捷的算法。例2填空题：（1）的平方根是__________；（2）若的平方根是±2，则x＝__________；（3）的立方根是2，则x＝__________。一点通：（

5、1）∵＝4，4的平方根是±2，∴的平方根是±2；（2）∵的平方根是±2，∴＝4，∴x＝64；（3）∵的立方根是2，∴＝8，∴x＝64。答案：（1）±2；（2）64；（3）64。点评：本题主要考查开方和乘方的互逆关系，应正确理解平方根、立方根等有关概念和题目中已知与所求之间的关系。综合运用类例3已知x＋3与2x－15是a的平方根，求a的值。一点通：本题没有告知x＋3和2x－15是a的两个平方根，因此x＋3与2x－15可能是同一个数，也可能是互为相反数。答案：当x＋3与2x－15相等时，x＋3＝2x－15，得x＝18。此时，x＋3＝2x－15＝21，∴a＝212＝441；当x＋3与2x－15互为相

6、反数时，（x＋3）＋（2x－15）＝0，得x＝4。此时，x＋3＝7，2x－15＝－7，∴a＝（±7）2＝49，∴a的值是441或49。点评：“a、b是x的平方根”与“x的平方根是a、b”表达的意义不同，前者表示a、b相等或互为相反数，后者表示a、b互为相反数。第8页版权所有不得复制例4如果将一个长方形ABCD折叠成一面积为196cm2的正方形ABFE，已知长方形CDEF的面积为正方形ABFE面积的一半，求长方形ABCD的长和宽。一点通：由已知正方形ABFE的面积为196cm2可求出AB的长，再根据长方形CDEF与正方形ABFE的面积关系可求出ED的长，进而求出AD的长。答案：由题意可知正方形A

7、BFE的面积为196cm2，所以AB＝AE＝＝14（cm）。因为长方形CDEF的面积是正方形ABFE面积的一半，所以CD×ED＝×196，即14×ED＝98，ED＝7（cm），所以AD＝AE＋ED＝14＋7＝21（cm）。所以长方形ABCD的长为21cm，宽为14cm。点评：本题是一道开方运算的几何应用题，通过开方求出正方形ABFE的边长，问题便可得以解决。思维拓展类例5解下列方程：（1）（x＋2