给定势函数的非线性薛定谔方程不变环面的存在性

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1、Y954744梗里大擎硕士学位论文学校代码；学号：给定势函数的非线性薛定谔方程不变环面的存在性院系；数学科学学院专业l姓名。指导教师：完成日期：基础数学柱利军袁小平教授2006年5月10日10246032018019中文摘要in摘要关于非线性偏微分方程拟周期解存在性的研究最早是分别由Kuksin[21和Wayne[10]开始的。Kuksin在他的专著[31当中表明，对于依赖于参数盯∈础的势函数V=y(z，盯)的，满足Dirichlet边值条件的非线性SchrSdinger方程，对于大多数(在lebesgue测度意义下)的参数盯，存在许多不变环面。然而对于某一给定的势函数y，不变环

2、面还是否存在并不清楚。到1995年，有了新的突破，Kuksin和P5schel在他们的文章『41中证明，对于给定的势函数y(x)im，其中m∈R是给定的常数，相应的Schr6dinger方程有许多椭圆不变环面，承载着方程的拟周期解。在这篇文章中，我们与论文f111中的想法类似并引用其中的一些引理，证明对于给定的解析势函数y(x)，不一定是常数，方程存在许多椭圆不变环面，与文章141不同的是，不变环面上承载的是高频的拟周期解。关键词：KAM理论，Hamilton系统，非线性薛定谔方程，拟周期解。图书分类号：0175英文摘要AbstractHistorically)theinvest

3、igationsfortheexistenceoftime—quasi—periodicsolutionsfornonlinearpartialdifferentialequationswerestartedindepen—dentlybyKuksin[2]andWayne[i0]．InKuksin’Sthemonograph[3])as—sumingV=v(x，们dependsonn—parametersO-∈碾“，heshowedthattheSchrSdingerequationwithDirichletboundaryconditionpossessesmanyin-va

4、rianttorifor“most”(inthesenseofLebesguemeasure)parameters盯．However，onedoesnotknowifthereisanyinvarianttorusoftheSchrSdingerequationforagivenpotentialV，say，y=sinzorV兰constantTherewasabreakthroughin1995：KuksinandPSschel[41showedthatfortheSchr6dingerequationwithv(x)imthereweremanyellipticinvaria

5、nttoriwhichweretheclosureofsomequasi—periodicsolutionsoftheequation，wherem∈豫isagivenconstant．／nthepresentpaper,usingtheideaandsomelemmas打omEil

6、)weshallshowthattherearemanyellipticinvarianttorioftheequationforagivenanalyticpotentialy(z)whichisnotnecessarytobeconstant．Keywords：KAMtheory,hamilto

7、niansystem，nonlinearschrSdingerequation，quasi—periodicsolution．CLCnumber：0175第0节引言§0引言在这篇文章中我们考虑在有限z一区间[o，”】上满足Dirichlet边值条件的非线性SchrSdinger方程iut=u。。一矿(。)u—f(1u12)u，(1)“(t，0)=0=u(t，7r)，一。o0上是解析的，，在C中原点的某个邻域内解析。若“=u(t，X)是方程(1)的一个解，那么对任意的c∈R来说，函数“(≠，x)e“也为方程

8、Jut=u。：一(v(x)+c)u—f(1“12)Ⅱ，满足边值条件(2)的一个解a因此我们可以假设盯y(z)=0和，(o)=0。进一步假设f是非退化的，即，7(o)≠0，而且在我们的结果当中，7(o)的符号和大小并不重要，为方便我们可以将方程简化为，iut=u。。一y(z)珏一I“J2u+0(矿)我们要证明对于给定的势函数v(x)，不一定是常数，方程存在许多由高频的拟周期解组成的椭圆不变环面。关于非线性偏微分方程拟周期解存在性的研究最早是分别由Kuksin[2】和Wayne[10