关于(I)类方程极限环存在性

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1、-------摘要本文分成两部分。在第一部分我们主要分析(I)类方程极限环的存在性问题，之前关于这方面的结果很少。我们主要利用Poincaré-Bendixson环域定理，构造了比较好的外境界线，并且得出了比文[7,8,9]更好的结果。在第二部分我们分析了广义Liénard方程解的存在唯一性问题。第一篇分为三章：第一章主要介绍极限环分析的历史背景和问题的提出；第二章主要介绍一些相关基本概念；第三章主要讨论(I)类方程的极限环存在问题，基于文[7,8,9]技巧构造外境界线，得到了两个重要定理，结果优于文[7,8,9]中相关结论。定理C，在条件(3.4.1)

2、的情况下，当l2￿￿￿13(1￿4n)￿￿，(1￿2￿n)(2n2￿2n￿￿1)￿103,1￿4￿n￿0,n￿1￿n,y2n时，系统(3.1.1)在奇点O(0,0)的周围存在唯一不稳定的极限环，1￿￿n其中3￿1)y￿(n￿￿￿￿)(。22 2n定理D，在条件(3.4.1)的情况下，当l￿0,1￿54￿n￿0,￿￿n￿0时，若系统(3.1.1)满足如下条件：(1)2n￿3￿k2￿k￿0,2n￿￿k2￿0(2)2￿n1￿54￿￿1e￿￿￿￿,9ne￿en则系统(3.1.1)在奇点O(0,0)的周围存在唯一不稳定的极限环，-----------￿2n1￿n￿

3、￿(1￿n￿)2￿n24￿k￿￿26,1￿e￿其中1￿n￿2。第二篇：主要分析广义Liénard系统初值问题解的唯一性问题。利用李普希兹条件和隐函数定理，我们得到了如下解的存在唯一性定理：定理E，设系统(1.1.4)仅有孤立奇点,若F(x)和g(x)在R上连续,h(y)和q(y)在I-----------R上具有连续导数且满足h￿(y)￿0和q￿(y)￿h￿(y),则系统(1.1.4)满足初始条件x0)￿,y(t0)￿y0的解唯一，其中M0(x0,y0)不为奇点。(tx0推广了之前文[11,12,13]相应的结果。关键词：极限环,奇点,旋转向量场,唯一性

4、,Liénard系统-----------II-----------AbstractThispaperisdividedintotwoparts.Inthefirstpart,wemainlyresearchtheproblemsonlimitcyclesexistenceofType(I)equation,whichareveryfewbefore.ByusingthePoincaré-Bendixsontheorem,weconstructarelativelygoodboundaryline,andthengivebetterresultsthan

5、[7,8,9].Inthesecondpart,theproblemontheexistenceanduniquenessofsloutiononthegeneralizedLiénardequationisresearched.Threechaptersaredividedintointhefirstpart:IntheChapterI,weintroducethehistoricalbackgroundoflimitcyclesandproposetheproblem;IntheChapterII,weintroducesomeofthebasicc

6、oncepts;IntheChapterIII,wemainlydiscusstheproblemsonlimitcyclesexistenceofType(I)equation,givetwoimportanttheoremsbasedontheskillsofconstructingboundarylineinpaper[7,8,9],andtheresultsarebetterthantherelatedconclusioninpaper[7,8,9].TheoremC,Intheconditionsof(3.4.1),whenl2￿￿1￿3(1￿

7、4n)￿￿，(1￿2￿n)(2n2￿2n￿￿1)￿1,03,1￿4￿n￿0,n￿1￿n,y2nthensystem(3.1.1)aroundsingularpoint(0,0)existtheonlyunstablelimitcycle,1￿￿nwherey3n￿1)￿(￿￿￿￿)(.22 2nTheoremD,Intheconditionsof(3.4.1),ifthesystem(3.1.1)satisfy(1)2n￿3￿k2￿k￿0,2n￿￿k2￿0(2)2￿1e154￿n￿￿￿￿￿￿,9ne￿en-----------thensystem(3.1

8、.1)aroundsingularpoint(0,0)existtheonlyu