极限存在准则两个重要极限(I)

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1、第六节极限存在准则两个重要极限一、准则I及第一个重要极限二、准则II及第二个重要极限一、准则I及第一个重要极限如果数列{xn}、{yn}及{zn}满足下列条件(1)ynxnzn(n=123)准则I准则I如果函数f(x)、g(x)及h(x)满足下列条件(1)g(x)f(x)h(x)(2)limg(x)Alimh(x)A那么limf(x)存在且limf(x)A(2)aynn=¥®lim,aznn=¥®lim,那么数列{xn}的极限存在,且axnn=¥®lim.证如果数列{xn}、{yn}及{zn}满

2、足下列条件(1)ynxnzn(n=123)准则I(2)aynn=¥®lim,aznn=¥®lim,那么数列{xn}的极限存在,且axnn=¥®lim.上两式同时成立,},,max{21NNN=取圆扇形AOB的面积证:当即亦即时，显然有△AOB的面积＜＜△AOD的面积故有注第一个重要极限当时注返回注:这是因为令u=a(x)则u0于是第一个重要极限例1.求解:例2.求解:令则因此原式解例3例4解二、准则II及第二个重要极限M准则II单调有界数列必有极限准则II的几何解释x1x5x4x3x2xnA以单调增加数列为例

3、数列的点只可能向右一个方向移动或者无限向右移动或者无限趋近于某一定点A而对有界数列只可能后者情况发生第二个重要极限我们还可以证明这就是第二个重要极限根据准则II数列{xn}必有极限,此极限用e来表示,即可以证明(2)xn3(1)xnxn+1nN注:解例5令t=-x则x时t于是例6解:练习1.2.作业：p-55习题1-61（3），（5），（6）2（3），（4）4（1）,(2)