专题5 数列的综合运用

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1、专题8　数列的综合应用一、填空题1．在数列{an}中，a1＝4，a2＝10，若{log3(an－1)}为等差数列，则Tn＝＋＋…＋等于________．2．已知正项等比数列{an}满足：a7＝a6＋2a5，若存在两项am，an，使得＝a1，则＋的最小值为________．3．已知数列{an}满足a1＝33，an＋1－an＝2n，则的最小值为________．4．设{an}是等比数列，公比q＝，Sn为{an}的前n项和．记Tn＝，n∈N*.设Tn0为数列{Tn}的最大项，则n0＝________.5．已知等差数列{an}满足2a2－a＋2a12＝0，且{bn}是等比数列，若b7＝a7，则b5b9

2、＝________.6．在等比数列{an}中，a1＝1，a2012＝9，函数f(x)＝x(x－a1)(x－a2)…(x－a2012)＋2，则曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为________．7．设y＝f(x)是一次函数，f(0)＝1，且f(1)，f(4)，f(13)成等比数列，则f(2)＋f(4)＋…＋f(2n)＝________.8．第30届奥运会在伦敦举行．设数列an＝logn＋1(n＋2)(n∈N*)，定义使a1·a2·a3…ak为整数的实数k为奥运吉祥数，则在区间[1,2012]内的所有奥运吉祥数之和为________．89．在等差数列{an}中，a2＝5，a6＝21

3、，记数列的前n项和为Sn，若S2n＋1－Sn≤对n∈N*恒成立，则正整数m的最小值为________．二、解答题10．数列{an}满足an＝2an－1＋2n＋1(n∈N*，n≥2)，a3＝27.(1)求a1，a2的值；(2)是否存在一个实数t，使得bn＝(an＋t)(n∈N*)，且数列{bn}为等差数列？若存在，求出实数t；若不存在，请说明理由；(3)求数列{an}的前n项和Sn.11．设函数f(x)＝(x＞0)，数列{an}满足a1＝1，an＝f(n∈N*，且n≥2)．(1)求数列{an}的通项公式；(2)设Tn＝a1a2－a2a3＋a3a4－a4a5＋…＋(－1)n－1·anan＋1，若T

4、n≥tn2对n∈N*恒成立，求实数t的取值范围．812．已知数列{an}满足对任意的n∈N*，都有a＋a＋…＋a＝(a1＋a2＋…＋an)2且an＞0.(1)求a1，a2的值；(2)求数列{an}的通项公式an；(3)设数列的前n项和为Sn，不等式Sn＞loga(1－a)对任意的正整数n恒成立，求实数a的取值范围．13．已知数列{an}满足a1＝a(a＞0，a∈N*)，a1＋a2＋…＋an－pan＋1＝0(p≠0，p≠－1，n∈N*)．(1)求数列{an}的通项公式an；(2)若对每一个正整数k，若将ak＋1，ak＋2，ak＋3按从小到大的顺序排列后，此三项均能构成等差数列，且公差为dk.①求

5、p的值及对应的数列{dk}．②记Sk为数列{dk}的前k项和，问是否存在a，使得Sk＜30对任意正整数k恒成立？若存在，求出a的最大值；若不存在，请说明理由．8专题8　数列的综合应用参考答案1．解析　由{log3(an－1)}是等差数列得d＝log3(a2－1)－log3(a1－1)＝log3(10－1)－log3(4－1)＝1，所以log3(an－1)＝log3(a1－1)＋(n－1)×1＝n所以an＝3n＋1，则Tn＝＋＋…＋＝＋＋…＋＝＋＋…＋＝×＝.答案　2．解析　由a7＝a6＋2a5得q2＝q＋2，又an＞0，所以q＝2，＝a1＝a1，所以m＋n＝3，故＋＝＝＋＋≥＋2＝3.(当且仅

6、当m＝2，n＝1等号成立)．答案　33．解析　an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1＝2[(n－1)＋(n－2)＋…＋2＋1]＋33＝33＋n2－n，所以＝＋n－1，设f(n)＝＋n－1，令f′(n)＝＋1＞0，则f(n)在(，＋∞)上是单调递增，在(0，)上是递减的，因为n∈N*，所以当n＝5或6时f(n)有最小值．又因为＝，＝＝，所以，的最小值为＝.答案　4．解析　Tn＝＝·＝·，因为()n＋≥8，当且仅当()n＝4，即n＝4时取等号，所以当n0＝4时Tn有最大值．8答案　45．解析　因为{an}是等差数列，所以a2＋a12＝2a7，又2(a2＋a12)

7、＝a，所以4a7＝a，b7＝a7≠0，所以a7＝4，所以b5b9＝b＝42＝16.答案　166．解析　f′(0)即为f(x)展开式中x的系数，所以f′(0)＝a1a2…a2012＝(a1a2012)1006＝91006＝32012，又f(0)＝2，故在点(0，f(0))处的切线方程为y－2＝32012x，即为y＝32012x＋2.答案　y＝32012x＋27．解析　设f(x)＝kx＋b(k≠0)，