CHP312随机向量随机变量的独立性新

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1、第三章随机变量与分布函数第一节　随机变量及其分布第二节　随机变量与随机向量的独立性第三节　随机变量的函数及其分布第二节随机变量及随机向量的独立性一、随机向量及其分布二、边际分布三、条件分布四、随机变量的独立性一、随机向量及其分布构成一个n维随机变量或n维随机向量。定义若随机变量定义在同一概率空间上，则称把它们作为一个随机向量，我们不仅能研究各个分量的性质，而且可以考察它们之间的联系，对许多问题来说，这是十分必要的。对于任意的n个实数定义称n元函数为随机向量的（联合）分布函数。亦即对于中的n维矩形，有利用测度论的方法还可以证明，若为上任一博雷尔点集，也有以后，我们将要用到这个结论。

2、给出了分布函数以后，我们可以计算事件的概率，例如当时，有类似于一元的场合，可以证明多元分布函数的一些性质（1）单调性：关于每个变元是单调不减函数。（2）（3）关于每个变元左连续。在二元场合，还应该有：对任意，都有（4）性质（4）能推出单调性，但存在着反例说明，由单调性并不能保证（4）式成立。这是多元场合与一元场合的不同之处。随机向量也有不同类型，最常见的也是离散型与连续型。在离散型场合，概率分布集中在有限或可列个点上，重要的离散型分布有多项分布与多元超几何分布，它们分别是二项分布和超几何分布往多元场合的推广。可以证明：满足（2），（3），（4）这三条性质的二元函数必为某二元随机变

3、量的分布函数。因此，以后我们称满足以上三条性质的函数为二元联合分布函数。重复这种实验次，并假定这些实验是相互独立的，若以分别记出现的次数，则这里整数，且仅当时上式才成立，否则为0。多项分布在实验中，若每次实验的可能结果为，而且多元超几何分布袋中装有号球只，，从中随机摸出只，若以分别记号球的出现数，则这里整数，且仅当时上式才成立，否则为0。以上两个分布在抽样中常用，前者用于有放回场合，后者则用于不放回场合。在连续型场合，存在着非负函数，使这里的称为密度函数，满足如下两个条件均匀分布和元正态分布是比较常见的多维连续型分布均匀分布若为中有限区域，其测度；则由密度函数给出的分布称为上的均

4、匀分布。多元正态分布若是阶正定对称矩阵，以表示的逆矩阵；表示的行列式的值。是任意实值行向量，则由密度函数定义的分布称为元正态分布，简称为元正态分布是最重要的一种多维分布，它在概率论、数理统计、随机过程论中都占有重要地位，具有许多重要性质。元正态分布地密度函数可以写为向量形式：这里表示向量的转置。二维正态分布的联合密度函数的图形是一个钟形曲面，它与平行于坐标平面的水平平面相交的截口为椭圆，而与平行于另外两个坐标平面的竖直平面相交的截口为正态曲线。二维正态分布的图形特点二、边际分布为方便起见，讨论将对二维场合进行，多维时这些结论仍然成立。考虑二维离散型分布的场合，设取值；取值，记显然

5、此外对固定的和，有通常用以下表格表示的分布律和边际分布律称为联合概率分布，称为边际分布。注意：联合分布不能由边际分布唯一确定，也就是说二维随机向量的性质不能由它两个分量的个别性质来确定，这时还必须考虑它们之间的联系，这也说明了研究多维随机向量的作用。一般地，若是二维随机向量，其分布函数为，我们能由得出或的分布函数，事实上，同理及称为的边际分布函数。若是连续型分布函数，有密度函数，那么因此是连续型分布函数，其密度函数为同理也是连续型分布函数，其密度函数为及称为的边际分布密度函数。二元正态分布（P139）元正态分布时的特殊情况。相应地二元正态分布的边际分布仍为正态分布。问题：均匀分布

6、的边际分布是否还是均匀分布？例设服从单位圆上的均匀分布，试求它的边际密度函数。解联合密度函数为：当时，故；而当时，对称可得因而，单位圆上均匀分布的边际分布不是一维均匀分布。三、条件分布对于多个随机事件可以讨论它们的条件概率，同样地，对于多个随机变量也可以讨论它们的条件分布。仍对二维的场合进行讨论。也还是从离散型开始。若已知则事件的条件概率为此式定义了随机变量关于随机变量的条件分布。在一般情况下，它不同于，这表示从的取值可以得出关于的某些信息。对于一般随机向量，我们也想定义条件分布函数，但是由于会出现，因此我们不能像上式一样简单地定义。自然会想到可以用下式来定义特别对于有连续密度函

7、数的场合，这定义导出因此在给定的条件下，的分布密度函数为因此在给定的条件下，的分布密度函数为利用积分中值定理，当时，这里当然也要求例二元正态分布，其中的条件分布仍然是正态分布，即例若服从单位圆上的均匀分布，则在的条件下的条件分布是区间上的均匀分布，即特别指出，这一条件分布的均值是的线性函数，这一结论在一些统计问题中很重要。四、随机变量的独立性定义设是概率空间上的个随机变量，如果他们的联合分布函数等于各自边缘分布函数之积，即则称相互独立。一族无限多个随机变量称作相互独立的，如果其中