《2.6 正态分布》 同步练习 3

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1、《2.6正态分布》同步练习31．若，x∈R，则下列说法正确的是(　　)．A．f(x)有最大值，也有最小值B．f(x)有最大值，无最小值C．f(x)无最大值，有最小值D．f(x)无最大值，也无最小值解析　根据指数函数与二次函数的性质知，当x＝1时，f(x)取最大值，无最小值．答案　B2．已知随机变量X服从正态分布N(2，σ2)，P(X<4)＝0.84，则P(X≤0)＝(　　)．A．0.16B．0.32C．0.68D．0.84解析　由X～N(2，σ2)，可知其正态曲线如图所示，对称轴为x＝2，则P(X≤0)＝P(X≥4)＝1－P(X<4)＝1－0

2、.84＝0.16.故选A.答案　A3．设随机变量X～N(μ，σ2)且P(X≤C)＝P(X>C)＝p，那么p的值为(　　)．A．0B．1C.D．不确定，与σ有关解析　由P(X≤C)＝P(X>C)＝p知，密度曲线的对称轴为x＝C.又因曲线与x轴之间的面积为1，知p＝.答案　C4．设随机变量X服从正态分布N(0，σ2)，P(X>1)＝p，则P(－11)]＝(1－2p)＝－p.答案　－p5．一批灯泡的使用时间X(单位：小时)

3、服从正态分布N(10000，4002)，则这批灯泡使用时间超过10800小时的概率为________．解析　P(X＞10800)＝[1－P(10000－2×400＜X≤10000＋2×400)]＝(1－0.954)＝0.023.答案　0.0236．设正态总体落在区间(－∞，－1)和区间(3，＋∞)内的概率相等，落在区间(－2，4)内的概率为99.7%，求该正态总体对应的正态曲线的最高点的坐标．解　正态总体落在(－∞，－1)和(3，＋∞)内的概率相等，说明正态曲线关于x＝1对称．所以μ＝1，因为落在(－2，4)内的概率为99.7%，∴1－3σ＝

4、－2，1＋3σ＝4，∴σ＝1.∴最高点的坐标为.7．设随机变量Z～N(0，1)，a＝P(－2b解析　由正态曲线的对称性，a＝c.各概率值都是Z在区间长度为2的区间内取值的概率，b对应的区间在正态曲线的对称中心，故b最大．答案　C8．右图是当σ取三个不同值σ1，σ2，σ3的三种正态曲线N(0，σ2)图像，那么σ1，σ2，σ3的大小关系是(　　)．A．σ1>1>σ2>σ3>0B．0<σ1<σ2<1<σ3C．σ

5、1>σ2>1>σ3>0D．0<σ1<σ2＝1<σ3解析　对正态分布N(0，σ2)，σ反映的是正态分布的离散程度，σ越小，越集中，曲线越“高瘦”，由图可知σ1<σ2<σ3，对σ2对应的曲线，由图知，μ＝0，且当x＝0时，f(x)max＝，又由曲线在x＝μ处达到峰值知σ2＝1，故选D.答案　D9．已知一个正态分布的分布密度函数为，且σm＝μn＝196，则＋＝________.解析　由题意知，μ＝7，σ＝2.又σm＝μn＝196，即2m＝7n＝196＝142，∴m＝，n＝，∴＋＝＋＝＝.答案　10．某市组织一次高三调研考试，考试后统计的数学成绩服从

6、正态分布，其密度函数为(x∈R)．对此有以下命题：①该市这次考试的数学平均成绩为80分；②分数在120分以上的人数与分数在60分以下的人数相同；③分数在110分以上的人数与分数在50分以下的人数相同；④该市这次考试的数学成绩标准差为10.其中正确命题的序号是________．(把所有正确命题的序号都写出来)解析　由题意知，μ＝80，σ＝10，即平均成绩为80分，成绩的标准差为10.由μ＝80知正态曲线关于x＝80对称，故(120，＋∞)关于x＝80的对称区间为(－∞，40)；(110，＋∞)关于x＝80的对称区间为(－∞，50)．所以分数在1

7、10分以上的人数与分数在50分以下的人数相同．答案　①③④11．已知某种零件的尺寸X(单位：mm)服从正态分布，其正态曲线在(0，80)上是增函数，在(80，＋∞)上是减函数，且f(80)＝.(1)求分布密度函数；(2)估计尺寸在72mm～88mm间的零件大约占总数的百分之几？解　(1)由于正态曲线在(0，80)上是增函数，在(80，＋∞)上是减函数，所以正态曲线关于直线x＝80对称，且在x＝80处取得最大值，因此得μ＝80.＝，所以σ＝8.故密度函数解析式是(2)由μ＝80，σ＝8得，μ－σ＝80－8＝72，μ＋σ＝80＋8＝88，所以零件

8、尺寸X位于区间(72，88)内的概率是0.683.因此尺寸在72mm～88mm间的零件大约占总数的68.3%.12．(创新拓展)有一种精密零件，其尺寸X(单位：mm