《2.4 抛物线-2.4.1 抛物线的标准方程》导学案

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1、《2.4.1抛物线的标准方程》导学案教学过程一、问题情境回顾椭圆、双曲线标准方程的推导过程，结合抛物线的定义，提出问题:如何建立直角坐标系来推导抛物线的方程？二、数学建构1.回顾抛物线的定义:平面内与一个定点F和一条定直线l(F不在l上)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线.定点F叫做抛物线的焦点，定直线l叫做抛物线的准线.注:(1)定点F不在这条定直线l上；(2)若定点F在这条定直线l上，则点的轨迹是什么？2.推导抛物线的标准方程(图1)如图1，建立直角坐标系，设KF=p(p>0)，那么焦点F的坐标为，准线l的方程为x=-.设抛物线上的点M(x，y)，则有=，化简得y2=2px(p>

2、0).方程y2=2px(p>0)叫做抛物线的标准方程.它表示的抛物线的焦点在x轴的正半轴上，焦点是F，准线方程是x=-.一条抛物线，由于它在坐标系的位置不同，方程也不同，如图，分别建立直角坐标系.设出KF=p(p>0)，则图象对应的抛物线标准方程依次如下:(图2)(图3)(图4)如图2，x2=2py(p>0)，焦点:F，准线l:y=-；如图3，y2=-2px(p>0)，焦点:F，准线l:x=；如图4，x2=-2py(p>0)，焦点:F，准线l:y=.不同学生会有不同的坐标系的建立方法，因此也可以将四种不同的坐标系的建立方法都写出后，分别请同学上黑板完成方程的推导.(图5)由第一个

3、图得到焦点在x轴正半轴上的抛物线的标准方程为y2=2px；由第二个图得到焦点在x轴负半轴上的抛物线的标准方程为y2=-2px；由第三个图得到焦点在y轴正半轴上的抛物线的标准方程为x2=2py；由第四个图得到焦点在y轴负半轴上的抛物线的标准方程为x2=-2py.这四种抛物线的图形、标准方程、焦点坐标以及准线方程列表如下:图　形标准方程焦点坐标准线方程图1y2=2px(p>0)x=-图3y2=-2px(p>0)x=图2x2=2py(p>0)y=-图4x2=-2py(p>0)y=　　问题1　这四个方程都是抛物线的标准方程，那么根据方程能否区分焦点的位置？(在x轴上，还是y轴上？在正半轴

4、上，还是负半轴上？)引导学生得出结论:一次定轴(焦点所在的坐标轴)，符号定向.(1)焦点在x轴上时，标准方程为y2=2mx，焦点坐标为，准线方程为x=-；(2)焦点在y轴上时，标准方程为x2=2my，焦点坐标为，准线方程为y=-.m中含有“符号”，

5、m

6、表示焦点到准线的距离.三、数学运用【例1】　已知抛物线的方程为y=2ax2(a<0)，写出它的焦点坐标及准线方程.[1](见学生用书P31)[处理建议]　先引导学生将抛物线的一般方程化为标准方程，再让学生根据定义自主求解.[规范板书]　解　将抛物线方程变形为x2=，因为a<0，所以它表示的曲线是对称轴为y轴、开口向下的抛物线，其标

7、准方程为x2=-2py(p>0)，即2p=-，得=-，故其焦点坐标为，准线方程为y=-.[题后反思]　解题时，应首先检查所给方程是否为标准形式，只有将方程化为标准形式之后，才能顺利确定相关的基本量.【例2】　若抛物线的焦点F在x轴上，点A(m，-3)在抛物线上，且AF=5，求该抛物线的标准方程.[2][处理建议]　引导学生先用待定系数法设出抛物线的方程，再根据其定义将点到焦点的距离转化为点到准线的距离，最后由点在抛物线上，联立方程求解.[规范板书]　解　设抛物线的方程为y2=2px或y2=-2px(p>0).当y2=2px(p>0)时，由点A(m，-3)在抛物线上，得(-3)2=

8、2pm，即m=.①再由抛物线的定义，得m+=5.②联立方程①②，得+=5，即p2-10p+9=0，解得p=1或9，此时抛物线的标准方程为y2=2x或y2=18x.同理可求得y2=-2x或y2=-18x.故所求抛物线的标准方程为y2=2x或y2=-2x或y2=18x或y2=-18x.[题后反思]　本例采用待定系数法来求抛物线的标准方程，需熟练掌握.【例3】　已知F是抛物线y2=x的焦点，A，B是抛物线上两点，且AF+BF=3，求线段AB的中点M到y轴的距离.[处理建议]　引导学生利用抛物线的定义将与焦点有关的线段长度问题进行转化，再结合图形求解.　(例3)[规范板书]　解　因为y2

9、=x，所以p=.如图，过点M作MM1⊥准线l于点M1，交y轴于点N，过点A作AA1⊥准线l于点A1，过点B作BB1⊥准线l于点B1.于是有MN=MM1-=(AA1+BB1)-=(AF+BF)-=×3-×=.[题后反思]　部分与抛物线焦点有关的线段长度问题利用定义转化后，才能顺利建立关系式.*【例4】　平面上的动点P到定点F(1，0)的距离比P到y轴的距离大1，求动点P的轨迹方程.[处理建议]　先让学生根据题意直接求解，再根据抛物线的定义引导学生用定义法求解.[规范板书]　解法一