2.4.1抛物线的标准方程

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1、第2章圆锥曲线与方程2.4.1抛物线的标准方程生活中抛物线赵州桥实验:取一条长为AC的绳子,一端点固定在点A上,另一端点固定在定点F上,把笔尖放在P点上,沿着直线l上下移动三角形作出点P移动的轨迹图形.演示平面内与一个定点F和一条定直线l（l不经过点F）的距离相等的点的轨迹叫做抛物线一、抛物线定义其中定点F叫做抛物线的焦点定直线l叫做抛物线的准线lNFM··即:当

2、MF

3、=

4、MN

5、时,点M的轨迹是抛物线如何求抛物线的轨迹方程呢·FMlN求曲线方程的基本步骤是怎样的？想一想？回顾求曲线方程一般步骤：1、建系2、设点3、列

6、方程4、化简5、证明(可省略)··FMlN设焦点到准线的距离为常数P(P>0).如何建立坐标系,求出抛物线的标准方程呢？二、抛物线标准方程的推导K思考xyo··FMlNK设︱KF︱=p则F（，0），L：x=-p2p2（2）设点：设动点M的坐标为（x，y）（3）列式：由MF=MN得，（4）化简得y2=2px（p＞0）2解：(1)建系：如图，取过焦点F且垂直于准线L的直线为x轴，线段KF的中垂线为y轴二、抛物线标准方程的推导(p>0)··FMlN··FMlN··FMlNxyoxyoxyo把方程y2=2px（p＞0）叫做抛物

7、线的标准方程而p的几何意义是:焦点到准线的距离其中焦点F（，0），准线方程l：x=-p2p2KOlFxy.一条抛物线，由于它在坐标平面内的位置不同，方程也不同，所以抛物线的标准方程还有其它形式.三、标准方程FlFlFlFl问题：仿照前面求抛物线标准方程的方法，你能建立适当的坐标系，求下列后三幅图中抛物线的方程吗?NNNN(1)(2)(3)(4)准线方程焦点坐标标准方程焦点位置图形三.四种抛物线及其它们的标准方程x轴的正半轴上x轴的负半轴上y轴的正半轴上y轴的负半轴上y2=2pxy2=-2pxx2=2pyx2=-2pyF

8、(----感悟归结:1、焦点在一次项字母对应的坐标轴上.2、一次项的系数的符号决定了抛物线的开口方向.例1已知抛物线的标准方程是y2=4x，求它的焦点坐标和准线方程；解:∵2P=4,∴P=2∴抛物线的焦点坐标是（1，0）准线方程是x=-1例（1）已知抛物线的标准方程是y2=6x，求它的焦点坐标和准线方程；（2）已知抛物线的方程是y=－6x2,求它的焦点坐标和准线方程；32解：因为ｐ＝３，故焦点坐标为（－,０）32准线方程为x=-－.解:方程可化为:故焦点坐标为,准线方程为解：（1）x2=y，焦点坐标为（0，），准线方程

9、是y=（2）x2=y,焦点坐标为（0，），准线方程是y=变式：写出下列抛物线的标准方程、焦点坐标和准线方程：（1）3y+5x2=0；（2）y=ax2（a>0）.感悟：求抛物线的焦点坐标和准线方程要先化成抛物线的标准方程（1）焦点是F（-2，0），它的标准方程_______.（2）准线方程是y=-2，它的标准方程_______.（3）焦点到准线的距离是4,它的标准方程_____.例2:y2=-8xx2=8yx2=±8y、y2=±8x（1）（2）（3）解题步骤:用待定系数法求抛物线标准方程的步骤：（1）确定抛物线的形式.（

10、2）求p值（3）写抛物线方程注意:焦点或开口方向不定，则要注意分类讨论求过点A（-3，2）的抛物线的标准方程。．AOyx解:（1）当抛物线的焦点在y轴的正半轴上时，把A（-3，2）代入x2=2py，得p=（2）当焦点在x轴的负半轴上时，把A（-3，2）代入y2=-2px，得p=∴抛物线的标准方程为x2=y或y2=x。例3：1、理解抛物线的定义,标准方程类型.2、会求不同类型抛物线的焦点坐标、准线方程.3、掌握用待定系数法求抛物线标准方程.4、注重数形结合和分类讨论的解题方法.小结