2.4.1抛物线的标准方程 (2)

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1、《抛物线及其标准方程》练习1．已知抛物线C：y2＝x的焦点为F，A(x0，y0)是C上一点，

2、AF

3、5＝4x0，则x0＝()A．4B．2C．1D．8答案：C11解析：由y2＝x，得2p＝1，即p＝2，因此焦点F，0，准线方程1为l：x＝－4.设点A到准线的距离为d，由抛物线的定义可知d＝

4、AF

5、，从而15x0＋4＝4x0，解得x0＝1，故选C.2．[2017·山西运城期末]已知抛物线x2＝ay与直线y＝2x－2相交于M，N两点，若MN中点的横坐标为3，则此抛物线方程为()3A．x2＝2yB．x2

6、＝6yC．x2＝－3yD．x2＝3y答案：D解析：设点M(x1，y1)，N(x2，y2)．x2＝ay，由y＝2x－2消去y，得x2－2ax＋2a＝0，x1＋x22a所以2＝2＝3，即a＝3，因此所求的抛物线方程是x2＝3y.3．[2017·吉林长春一模]过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F且倾斜

7、AF

8、角为120°的直线l与抛物线在第一、四象限分别交于A，B两点，则

9、BF

10、＝()12A.3B.334C.4D.3答案：A解析：记抛物线y2＝2px的准线为l′，如图，作AA1⊥l′，BB1⊥l′，

11、AC⊥BB1，垂足分别是A1，B1，C，

12、BC

13、

14、BB1

15、－

16、AA1

17、则有cos∠ABB1＝

18、AB

19、＝

20、AF

21、＋

22、BF

23、

24、BF

25、－

26、AF

27、＝

28、AF

29、＋

30、BF

31、，

32、BF

33、－

34、AF

35、1

36、AF

37、1即cos60°＝

38、AF

39、＋

40、BF

41、＝2，由此得

42、BF

43、＝3.x2y24．已知抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点F与双曲线4－5＝1的右焦点重合，抛物线的准线与x轴的交点为K，点A在抛物线上且

44、AK

45、＝

46、AF

47、，则点A的横坐标为()A．2B．3C．2D．4答案：Bpp解析：记抛物线的焦点为，0，准线为x＝－2.

48、p双曲线的右焦点为(3,0)，所以2＝3，即p＝6，即y2＝12x.过A作准线的垂线，垂足为M，则

49、AK

50、＝

51、AF

52、＝

53、AM

54、，即

55、KM

56、＝

57、AM

58、，设A(x，y)，则y＝x＋3，代入y2＝12x，解得x＝3.5．[2017·北京密云模拟]已知两点A(1,0)，B(b,0)．如果抛物线y2＝4x上存在点C，使得△ABC为等边三角形，那么实数b＝________.1答案：5或－3b＋1解析：依题意，线段AB的垂直平分线x＝2(b>－1)与抛物线b＋1y2＝4x的交点C，n满足

59、CA

60、＝

61、AB

62、＝

63、

64、b－1

65、(其中n2＝2(b＋1))，b＋1于是有－12＋n2＝(b－1)2，b＋1即－12＋2(b＋1)＝(b－1)2，化简得3b2－14b－5＝0，即(3b＋1)(b－5)＝0，1解得b＝5或b＝－3.6．如图是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱桥离水面2m，水面宽4m，水位下降1m后，水面宽________m.答案：2解析：建立如图所示的平面直角坐标系，A，B是抛物线与水面的交点．由题意，得点A的坐标为(－2，－2)．设抛物线的方程为x2＝ay，把A的坐标代入，得a＝－2，即抛物线的方程为x2＝

66、－2y.当水位下降1(单位：m)时，水面的纵坐标为－3，把y＝－3代入抛物线的方程，得x＝±.∴水位下降1m后，水面宽为2m.7．已知点M(－3,2)是坐标平面内一定点，若抛物线y2＝2x的焦点为F，点Q是该抛物线上的一动点，则

67、MQ

68、－

69、QF

70、的最小值是________．5答案：21解析：抛物线的准线方程为x＝－2，当MQ∥x轴时，

71、MQ

72、－

73、QF

74、取得最小值，此时点Q的纵坐标y＝2，代入抛物线方程y2＝2x得Q的横坐标15x＝2，则

75、MQ

76、－

77、QF

78、＝

79、2＋3

80、－2＝2.