高等数学讲义一元函数微分学

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1、--第二章一元函数微分学§2.1导数与微分（甲）内容要点一、导数与微分概念1、导数的定义设函数yf(x)在点x0的某领域内有定义，自变量x在x0处有增量x，相应地函数增量yf(x0x)f(x0)。如果极限yf(x0x)f(x0)limlimxx0xx0存在，则称此极限值为函数f(x)在x0处的导数（也称微商），记作f(x0)，或yxx0，dyxx0，df(x)xx0等，并称函数yf(x)在点x0处可导。如果上面的极限不存在，则dxdx称函数yf(x)在点x0处不可导。导数定义的另一等价形式，令xx0x，xxx0，则f(x0)f(x)fx0()limxx0xx0我们也引进单侧导数

2、概念。右导数：f(x0)limf(x)f(x0)limf(x0x)f(x0)xx0xx0x0x左导数：f(x0)limf(x)f(x0)limf(x0x)f(x0)xxx0xx----x00则有f(x)在点x0处可导f(x)在点x0处左、右导数皆存在且相等。2．导数的几何意义与物理意义如果函数yf(x)在点x0处导数f(x0)存在，则在几何上f(x0)表示曲线yf(x)在点（x0,f(x0)）处的切线的斜率。切线方程：yf(x0)f(x0)(xx0)----24----法线方程：yf(x0)1(xx0)(f(x0)0)f(x0)设物体作直线运动时路程S与时间t的函数关系为Sf(

3、t)，如果f(t0)存在，则f(t0)表示物体在时刻t0时的瞬时速度。3．函数的可导性与连续性之间的关系如果函数yf(x)在点x0处可导，则f(x)在点x0处一定连续，反之不然，即函数yf(x)在点x0处连续，却不一定在点x0处可导。例如，yf(x)

4、x

5、，在x00处连续，却不可导。4．微分的定义设函数yf(x)在点x0处有增量x时，如果函数的增量yf(x0x)f(x0)有下面的表达式yA(x0)xo(x)（x0）其中A(x0)为x为无关，o(x)是x0时比x高阶的无穷小，则称f(x)在x0处可微，并把y中的主要线性部分A(x0)x称为f(x)在x0处的微分，记以dyxx0或d

6、f(x)xx0。我们定义自变量的微分dx就是x。5．微分的几何意义yf(x0x)f(x0)是曲线yf(x)在点x0处相应于自变量增量x的纵坐标f(x0)的增量，微分dyxx0是曲线yf(x)在点M0(x0,f(x0))处切线的纵坐标相应的增量（见图）。6．可微与可导的关系f(x)在x0处可微f(x)在x0处可导。且dyxx0A(x0)xf(x0)dx一般地，yf(x)则dyf(x)dx--------25----所以导数f(x)dy也称为微商，就是微分之商的含义。dx7．高阶导数的概念如果函数yf(x)的导数yf(x)在点x0处仍是可导的，则把yf(x)在点x0处的导数称为yf

7、(x)在点x0处的二阶导数，记以yxx，或f(x0)，或d2yxx等，也dx200称f(x)在点x0处二阶可导。如果yf(x)的n1阶导数的导数存在，称为yf(x)的n阶导数，记以y(n)，n(n)dyy(x)，等，这时也称yf(x)是n阶可导。二、导数与微分计算1．导数与微分表（略）2．导数与微分的运算法则（1）四则运算求导和微分公式（2）反函数求导公式（3）复合函数求导和微分公式（4）隐函数求导法则（5）对数求导法（6）用参数表示函数的求导公式（乙）典型例题一、用导数定义求导数例设f(x)(xa)g(x)，其中g(x)在xa处连续，求f(a)解：f(a)limf(x)f(a

8、)lim(xa)g(x)0g(a)xaxaxaxa二、分段函数在分段点处的可导性例1设函数f(x)x2,x1----axb,x1试确定a、b的值，使f(x)在点x1处可导。解：∵可导一定连续，∴f(x)在x1处也是连续的。由f(10)limf(x)limx21x1x1----26----f(10)limf(x)lim(axb)abx1x1要使f(x)在点x1处连续，必须有ab1或b1a又f(1)limf(x)f(1)limx21lim(x1)2x1x1x1x1x1f(1)limf(x)f(1)limaxb1lima(x1)ax1x1x1x1x1x1要使f(x)在点x1处可导，必

9、须f(1)f，即2a.(1)故当a2,b1a121时，f(x)在点x1处可导.2n(x1)b，问a和b为何值时，例2设f(x)limxen(x1)axf(x)可导，且求f(x)ne1解：∵x1时，limen(x1)，nx1时，limen(x1)0nx2,x1，∴f(x)ab1,x1，ax2x1，b,由x1处连续性，limf(x)limx21，f(1)ab11，可知ab1x1x12再由x1处可导性，----f(1)limx2f(1)存在x1x1f(1)lim(axb)1f(1)存在x1x且f(