考研数学复习高等数学第二章一元函数微分学

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1、第二章一元函数微分学2013考试内容(本大纲为数学1，数学2-3需要根据大纲作部分增删)导数和微分的概念导数的几何意义和物理意义函数的可导性与连续性之间的关系平面曲线的切线和法线导数和微分的四则运算基本初等函数的导数复合函数、反函数、隐函数以及参数方程所确定的函数的微分法高阶导数一阶微分形式的不变性微分中值定理洛必达法则函数单调性的判别函数的极值函数图形的凹凸性、拐点及渐近线函数图形的描绘函数的最大值与最小值弧微分曲率的概念曲率圆与曲率半径2013年考试要求1.理解导数和微分的概念，理解导数与微分的关系，理解导数的几何意义，会求平面

2、曲线的切线方程和法线方程，了解导数的物理意义，会用导数描述一些物理量，理解函数的可导性与连续性之间的关系。2.掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法则，掌握基本初等函数的导数公式。了解微分的四则运算法则和一阶微分形式的不变性，会求函数的微分。3.了解高阶导数的概念，会求简单函数的高阶导数。4.会求分段函数的导数，会求隐函数和由参数方程所确定的函数以及反函数的导数。5.理解并会用罗尔（Rolle）定理、拉格郎日（Lagrange）中值定理和泰勒（Taylor）定理，了解并会用柯西（Cauchy）中值定理。6.掌握用洛必达法则求未定式

3、极限的方法。7.理解函数的极值概念，掌握用导数判断函数的单调性和求函数极值的方法，掌握函数最大值和最小值的求法及其应用。8.会用导数判断函数图形的凹凸性（注：在区间（a，b）内，设函数f(x)具有二阶导数。当时，f(x)的图形是凹的；当时，f(x)的图形是凸的），会求函数图形的拐点以及水平、铅直和斜渐近线，会描绘函数的图形。了解曲率、曲率圆与曲率半径的概念，会计算曲率和曲率半径。一、导数的定义、几何意义、物理意义、经济学意义1.1定义：在的某一邻域内有定义，而且称为导数。可导必连续，连续不一定可导。导数的定义是可导的充要条件形式。注

4、意以下两点①极限特点是分子必须存在一个定点函数。②，如下列均为导数极限定义的几种等价形式：●●116可导的充分条件必须同时满足下列4个条件①②和必须有一个是，不妨设称为定点函数，而称为动点函数；比如就不满足此条件；③必须能两侧趋于0，，也随之变号；比如或或就不满足此条件；④与为同价无穷小，比如就不满足此条件。而和就满足充分条件。必要条件形式（特点是：没有一个固定点）●也就是说：相应的极限存在，不一定存在。●重要公式：如果存在，并且为同价无穷小时,下列公式成立陈氏第3技116■题型1导数存在的条件题法【例4】函数在处连续，下列命题是否

5、正确？A）B）C）D）解：在处连续，则在处的邻域内有定义。A），命题正确。B），命题正确C），，命题正确。D）命题错误。【例5】解：1161.2的几何意义为点切线的斜率，的物理意义为点的变化率，的经济学意义为点的边际。1.3存在，则和存在且相等。1.4可导的奇函数的导数为偶函数；可导的偶函数的导数为奇函数；求导不改变函数的周期性；但积分会改变函数的周期性。二、导数定义的基本应用■题型2导数定义的应用题法2.1求分界点或边界点的导数【例6】设在上满足，若已知，求：。解：设【例7】设有反函数，，且，求；求；解：记，为的反函数，已经改变了

6、符号，为利用反函数公式，需要将116该为注意到由等式，两边再次关于求导得令，则【例8】设；求。解：当当【例9】设函数求。解：116也可以这样计算：，这是因为此题中的分段函数没有共同的分界点。【例10】若存在，求解：=【例11】（1）讨论的可导性；（2）讨论的连续性。解：（1）在内处处可导，仅需讨论点。，故在处处可导。（2）由于：为无界量，故为的第二类振荡间断点。评注本题也说明了函数连续，其导函数不连续的情形。【例12】讨论的可导问题。解:，即在点可导；116当时，不失一般性，令，从而同理：可见，同样可以证明：。因此，在点处不可导，由

7、于，除了点外，任何都存在不可导点。评注本题也说明了函数在某一点可导，在该点的任何邻域都存在不可导点的情形。【例13】在原点连续，求的范围。解：（1）在内处处可导，仅需讨论点。（2）综上所述。【例14】已知，在点的切线与轴的交点为，求。解：切线方程1162.2求解特殊的常微分方程【例15】设在实轴上连续，存在，；求。解：令或0；如当；令2.3在只知道连续而未知可导的情况下【例16】设在处连续；求。解：【例17】设；在连续，但不可导，又存在，证明：。证明：如果：，由于和存在，则如果：，则由商的求导法知：在可导，与题设矛盾；所以充要条件是

8、：。2.4陈氏第4技关于绝对值求导，但在为不可导点在点阶可导，且116■题型3关于绝对值求导题法【例18】函数不可导点的个数是解：由陈氏第4技，直接判断出不可导点为共2个，故选。【例19】函数，则是在处可导的解：，直接得出正确。2.5