考研数学复习高等数学第五章多元函数微分学

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1、第五章多元函数微分学2013年考试内容多元函数的概念二元函数的几何意义二元函数的极限与连续的概念有界闭区域上多元连续函数的性质多元函数的偏导数和全微分全微分存在的必要条件和充分条件多元复合函数、隐函数的求导法二阶偏导数方向导数和梯度空间曲线的切线和法平面曲面的切平面和法线二元函数的二阶泰勒公式多元函数的极值和条件极值多元函数的最大值、最小值及其简单应用2013年考试要求1.理解多元函数的概念，理解二元函数的几何意义。2.了解二元函数的极限与连续的概念以及有界闭区域上连续函数的性质。3.理解多元函数偏导数和全微分的概念，会求

2、全微分，了解全微分存在的必要条件和充分条件，了解全微分形式的不变性。4.理解方向导数与梯度的概念，并掌握其计算方法。5.掌握多元复合函数一阶、二阶偏导数的求法。6.了解隐函数存在定理，会求多元隐函数的偏导数。7.了解空间曲线的切线和法平面及曲面的切平面和法线的概念，会求它们的方程。8.了解二元函数的二阶泰勒公式。9.理解多元函数极值和条件极值的概念，掌握多元函数极值存在的必要条件，了解二元函数极值存在的充分条件，会求二元函数的极值，会用拉格郎日乘数法求条件极值，会求简单多元函数的最大值和最小值，并会解决一些简单的应用问题。

3、一、“三基”内容1.1.二元函数的几何意义或=0；定义域是平面上的一个区域，图形是一张曲面。1.2.二重极限与累次极限1）二重极限当时，恒有，其中以任何方向和任何方式进行，而一元函数的极限只有左右两个方向和一条直线路径；倘若沿两条不同的特殊路径，不相等，则可判定极限不存在。222【例1】求和解：使用一元化技巧【例2】解：无法一元化，利用技巧。可见，极限不存在。【例3】求解：无法一元化，使用夹逼法。二重极限的脱帽法：其中：。评注求二元函数的二重极限技巧是：先把值强行代入，如能直接得到值，则说明在点连续；否者，需要先定型后定法

4、再求极限，具体技巧有3个：一元化、夹逼法和直线探针。2222）二次极限（累次极限）为累次极限，如果连续，则。【例4】解：二次极限，故二次极限不存在。而二重极限由于可见，二重极限的存并不能保证二次极限的存在，反之亦然。1.3.二元函数的连续性的三种等价定义①全增量定义法：，如，则在点连续，也就是说，求连续函数极限时，可以将的自变量直接代入计算极限。②二重极限定义法：则在点连续，它与一元函数的连续性定义完全一致，可见，间断点的类型也一致。具体做法是：把值同时前行代入，如果能直接得出某一数，则连续，否则不连续。③无穷小定义法：从

5、上述定义可得等价形式：。评注由于可微的定义是而，故它与可微定义是有本质区别的，上述两个数学关系在判断二元函数的连续与可微性方面十分有用。222●重要性质：一切多元初等函数与一元函数一样，在其定义区间内是连续的。连续函数的和、差、积、商（分母不为零）及复合函数都是连续函数。多元初等函数的各阶偏导数仍然是初等函数，故在在其定义区间内也是连续的。1.4.偏导、全导、全微分①偏导：1）定义：在内有定义且，对于分段函数，在分界点时要利用该定义求，在边界点时要利用该定义求左右偏导。2）和在区域都连续，则，如果，则和在区域D至少有一个不

6、连续。【例5】（混合偏导次序不能交换的例子）解：读者可以对求混合偏导，结果是在点是不连续的。2223）本质上是一个求一元函数极值的过程，所以与二重极限无关。4）如果只求在某点的偏导，不必先求出该函数在任一点的偏导，而是先代入或后，再对或求偏导。一般地，存在下列关系：如②全导（只有多空间曲线才存在全导）而归结为一元函数求导，符合下列叠加原理：，称为全导。陈氏第8技关于显隐式求偏导和等效表达式的结论。●如果（表达式，表达式，表达式），如，则用符号1，2，3分别代表对第1、第2、第3项求偏导，如。注意而。●一般情况下。因为为隐式

7、求偏导，表示把复合函数中的当成不变量，对的偏导，而为显式求偏导表示把复合函数中的和都当成不变量，对的偏导。例如：222只有在明显给出函数形式的情况下，才有，希望读者体会本章相关例题。●等效表达式：只在的形式二元函数中成立。如函数虽然也是的二元函数，但由于它是的形式三元函数，故等效表达式不成立。③全微分1）定义：如果成立，则称在点可微，称为在点的全微分，记作。评注1．可微的充要条件是：；2．可微的充分条件是：；3．一般情形下讨论点的性质。2）形式不变性比如：1.5、二元函数的四性关系（极限存在、连续、偏导及可微的关系）陈氏第

8、9技二元函数的四性关系与原创反例。222评注偏导、二次极限是一维问题，而二重极限、连续、可微是二维问题，所以两组问题之间没有任何关系，除非二维问题中含有一维因子，如可微。方向导数则是单方向。●为便于比较，再列举一元函数的四性关系【例6】设，求，并讨论点的可微性与连续性。解：于是：当时，当时，当时，当时，