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1、第2章一元函数微分学2.1导数2.1.1导数的概念导数是通过研究直线运动物体的瞬吋速度和曲线斜率问题引出的.定义2.1设函数y=f(x)在点兀。及其附近有定义，若在点兀°处函数的增量Ay=f(x0+Ar)-f(x0)与白变量的增量Z的比值△y=/Oo+山）-/（兀0）AxAy当山tO时极限存在，则称函数y=/(Q在点心处可导，并称此极限值为函数y=/(尢)在点兀°处的导数‘记作fxQ)、此=心即lim/(心+山)一/(兀0)心toAx若极限不存在，则称该函数在点兀0处不可导.定义2.2若函数y=/(x)在任意的XG(a,b)处都可导
2、，则称函数y=f(x)在区间(a,b)内可导.此时，对于任意的xw(a,b),都对应着一个确定的值/z(x),于是便形成了一个新函数，称其为y=f(x)在区间(a,b)上的导函数，记作/'(兀)、y'、冬或如即dxdx“、v/U+Ax)-/(x)f(x)=lim,xe(a.h)心toAy通常在不发生混淆的前提下，导函数也简称导数.定理2.1如果函数y=/(x)在点观处可导，则于(兀)在点观处必连续.即可导一定连续，连续不一定可导，典型的例子是y在点X。=0处连续但不可导.Ox图2.12.1.2导数运算1.函数四则运算的求导法则设函数讥
3、兀）与u（x）均在点兀处可导，则它们的四则运算函数在兀处仍可导，且有(1)(W±v)z=wz±vz(2)(wv)z=uv+uv,特别的若v=C(C为常数)，贝!
4、(Cw)z=Cuuv-uv(v#0)2.复合函数求导法则定理2.2设函数u=（p{x）在点兀处可导，函数y=/（«）在对应点“处可导，则复合函数）/[°（兀）]在点x处也可导，且有{/10(兀)1}‘-厂(《)0‘(兀)或字=-j-——axdudx例2.1设y=(兀+sin，兀)'，求®■dx解：—=3(x4-sin2x)2(x+sin2x)'dx=3(x+sin2x)2-[
5、1+2sinx(sinx)f]aa=3(兀+sin兀)•(1+2sinxcosx)=3(x+sin2x)2•(1+sin2x)3.隐函数求导法例2.2求方程R-兀y+/=0所确定的隐函数y=/（x）的导数『.解：因为y=/（x）,所以"应视为关于兀的复合函数，方程两边同时关于兀求导，有（"了-ey•）/-（y+x）?，）+ex=0解：两边取对数得lny=xln(l+x)方程两边同吋关丁•兀求导丄.『=ln(l+Q+」一y1+x整理得¥—€丫20)e-x对某些特殊的函数，先取对数，再求导，往往起到意想不到的简化作用，这种方法就是对数求导
6、法.例2.3已知y=(l+x)J求)/.x于是)/=(1+x)r[ln(l+x)H——:—1+x例2.4已知y=解：两边取对数Iny=-[2In(x+l)-ln(x-1)-ln(x+2)]
7、]2I两边同吋关于x求导-『二-（(x+1)2z21于是>*9（占_占_士）=訂（二1）（；+2）蔚_二1_刁）1.由参数方程所确定的函数求导法参数方程:說「为参数）确定了y与xZ间的函数关系y=/（%）,此即为由参数方程所确定的函数•其求导计算公式为dydt©⑴dxdxy/t)dt实际上，相当于对）u/（兀）屮的y与x分别用关于/的函数进行了变
8、量替换.例2.5已知椭圆的参数方程为x=acost“亠込.(°>0"〉0,/为参数)y=bsintpdy求洽解:由于©=(bsinf)'dt=bcost,dx~dt(acost)'=-asint,于是dydy_dt_bcostdxdx-asintb=——cotradt表2.1求导基本公式表(C)z=o(xay=axa-'(Vx)Z=—^-j=2x(丄)'JXL(sinxY=cosx(cosx)z=-sinx(tanx=sec2x(cotx)z=-esc2X(see%)7=secxtanx(escxY=-CSCxcotX(axy=a
9、xci(exY=ex(log“X)=xma(lnx)'=—(arcsinx)z=.Vl-x2(arccosx)7=--J—(arctanx/=11+*(arccotxY=11+x2.1.3高阶导数定义2.3若函数y=/（x）的导函数仍可导，则把厂⑴的导数称为函数y=/（x）的二阶导数•记作d2y^d2f(x)2r=(/),>r(x)=[fx)]务？伴).dx「dxdx相应地，把厂（兀）称为函数y二/⑴的一阶导数•把二阶导数f的导数（）乍称为函数y二/（兀）的三33阶导数，记作X、/"(X)、X或依此类推,可得任意阶的导数.如函
10、数)y门兀)的巾阶导数,dxdx当h>3时，记作y(”)、f”)(x)、心或d"/d).~dxndxn二阶及二阶以上的导数统称为高阶导数.例2.6求函数y=sinx的n阶导数.JI解：y'=cosx=sin(x+—),y
