一元函数微分学应用

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1、第四章一元函数微分学的应用第四章一元函数微分学的应用本章教学要求1.了解罗尔中值定理、拉格朗日中值定理与柯西中值定理.2.熟练掌握会用洛必达法则求未定式的极限.3.掌握利用一阶导数判断函数的单调性的方法.4.理解函数的极值概念，掌握利用导数求函数的极值的方法，会解简单一元函数的最大值与最小值的应用题.5.会用二阶导数判断函数图形的凹性及拐点，能描绘简单函数的图形.重点：微分中值定理，用洛必达法则求未定式的极限，利用导数判断函数的单调性与图形凹性及拐点，利用导数求函数的极值的方法以及求简单一元函数的最大值与最小值的应用题.难点：函数

2、的最大值与最小值及其应用问题.第一节中值定理与洛必达法则一、罗尔定理1、罗尔定理罗尔定理如果函数在团区间上连续，在开区间内可导，且在区间端点的函数值相等，即，那末在内至少有一点，使得函数在该点的导数等于零：。几何解释:在曲线弧AB上至少有一点C，在该点处的切线是水平的。证明由于在闭区间[a,b]上连续，根据闭区间上连续函数的最大值和最小值定理，在闭区间[a,b]上必定取得它的最大值M和最小值m，这样只有两种可能情形：（1）。这时在区间[a,b]是必然取相同的数值M：。由此有，因此可以取（a,b）内任意一点作为而有。（2）。因为，所

3、以M和m这两个数中至少有一个不等于在区间[a,b]的端点处的函数值。为确定起见，不妨设（如果设，证法完全类似），那末必定在开区间（a,b）内有一点使。下面证明在点处的导数等于零：。因为是开区间（a,b）内的点，根据假设可知存在，即极限33第四章一元函数微分学的应用存在。而极限存在必定左、右极限都存在并且相等，因此由于是在[a,b]上的最大值，因此不论是正的还是负的，只要在[a,b]上，总有，，即。当时，，从而，根据函数极限性质有，同理，当时，，从而，因此必然有注意:若罗尔定理的三个条件中有一个不满足,其结论可能不成立.试看下例:①

4、端点的值不等,②非开区间可导,33第四章一元函数微分学的应用③非闭区间连续,2、拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理如果函数在闭区间上连续，在开区间内可导，那末在内至少有一点，使等式(1)成立。注意：与罗尔定理相比条件中去掉了，结论亦可写成(2)几何解释:在曲线弧AB上至少有一点C，在该点处的切线平行于弦AB。33第四章一元函数微分学的应用(是弧的斜率，为曲线在点处的切线斜率)分析：条件中与罗尔定理相差。从上图中看到，有向线段NM的值是x的函数，把它表示为，它与有密切的联系，且当及时，点M与点N重合，即有。为求得函数的表达式，设直线A

5、B的方程为，则由于点M、N的纵坐标依次为及，故表示有向线段NM的值的函数定理的证明:引进辅助函数容易验证函数适合罗尔定理的条件：；在闭区间[a,b]上连续，并在开区间内可导，且根据罗尔定理，可知在内至少有一点，使=0，即由此得，即注意:拉氏公式精确地表达了函数在一个区间上的增量与函数在这区间内某点处的导数之间的关系.33第四章一元函数微分学的应用拉氏中值定理是微分学中最基本的一个定理，有广泛的应用。我们对它特别给出如下重要注解:①、当时式子(2)仍然成立。②、设，(或)，在区间()或()上使用拉氏中值定理，我们有由于可正可负，因此

6、，无法确定是区间，还是区间，因此，我们只能讲“在与之间”。如下图所示，可表示成为：③更一般地，在或上使用拉氏中值定理有：推论1)如果函数在区间I上的导数恒为零，那末在区间I上是一个常数。证在区间I上任取两点、（<），应用（１）式就得由假定，，所以，即因为、是Ｉ上任意两点，所以上面的等式表明：在I上的函数值总是相等的，这就是说，33第四章一元函数微分学的应用在区间I上是一个常数。推论2)如果对内任意,均有,则在内与之间只差一个常数,即证:令,则,由推论1知,在内为一常数,即,,证毕。例1证明当时，证设，显然在区间[0，x]上满足拉格

7、朗中日值定理的条件，根据定理，应用由于，，因此上式即为又由，有，即。3、柯西中值定理柯西中值定理如果函数及在闭区间上连续，在开区间内可导，且在内的每一点处均不为零，那末在内至少有一点，使等式（3）成立。柯西中值定理的几何意义也十分明显，考虑由参数方程所表示的曲线视为参数33第四章一元函数微分学的应用曲线上点处的切线斜率为弦的斜率为假定点对应于参数，那未曲线点处切线平行于弦，于是证首先注意到，这是由于其中，根据假定，又，所以作辅助函数容易验证，这个辅助函数适合罗尔定理的条件：；在闭区间[a,b]内可导且根据罗尔定理，可知在（a,b）

8、内必定有一点使得=0，即由此得定理证毕。33第四章一元函数微分学的应用很明显，如果取，那末，，因而公式（3）就可以写成：这样就变成格朗日中值公式了。注意:①罗尔定理、拉格朗日中值定理及柯西中值定理之间的关系；②注意定理成立的条件(反例)；③注意利用