资源描述：
《04一元函数微分学的应用》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、第四章微分学的应用一、本章学习要求与内容提要(一)学习要求1.了解罗尔中值定理、拉格朗日中值定理与柯西中值定理.2.会用洛必达法则求未定式的极限.3.掌握利用一阶导数判断函数的单调性的方法.4.理解函数的极值概念，学握利用导数求函数的极值的方法，会解简单一元函数的最大值与最小值的应用题.5.会用二阶导数判断函数图形的凹性及拐点，能描绘简单函数的图形.重点用洛必达法则求耒定式的极限，利用导数判断函数的单调性与图形凹性及拐点,利川导数求函数的极值的方法以及求简单一元函数的最大值与最小值的应川题.(二)内容提要1.三个微分中值定理(1)罗尔(Rolle)定
2、理如果函数y=/(兀)满足下列三个条件：①在闭区间［%］上连续；②在开区间⑺力)内可导；③fW=f(b),则至少存在一点gg(a,b),使广忆)=0.⑵拉格朗日(Lagrange)中值定理如果函数y=/(兀)满足下列两个条件：①在闭区间［⑦切上连续；②在开区间(Q,b)内可导，则至少存在一点ge,使得广忆)=几?一/⑷,或f(b)一f(a)=-a)・b-ci(3)柯西(Cauchy)中值定理如果函数/(X)与g⑴满足下列两个条件：①在闭区间［a,®上连续；②在开区间(a,b)内可导,且g'CO工0,兀w(a"),则在内至少存在一点g,使得/(b)—/
3、(d)二广(§)g(b)-g(a)g@)2.洛必达法则如果①limf(x)=0,limg(x)=0;XT%②函数于(兀)与g(x)在兀0某个邻域内(点兀0可除外)可导,且g'(兀)工0；③lim厶凶为冇限数也可为8,+0O或-00)bill'f0g(x)，hmm=hmrn=A.XT%g(X)大T"g'(X)注意上述定理对于XT00时的-型未定式同样适用，对于兀T兀或XT00时的-000型未定式也有相应的法则.3.函数的单调性定理设函数/(兀)在闭区间［a.b］±连续,在开区间⑺上)内可导，则有①若在(a,b)内f(x)>0,则函数f(x)在［a,b］
4、上单调增加;②若在(a,b)内fx)<0,则函数f(x)在［a9b］上单调减少.1.函数的极值、极值点与驻点(1)极值的定义设函数在点兀°的某邻域内有定义，如果对于该邻域内任一点x(xx0),都有/(x)/(x0),则称/(兀0)是函数于⑴的极小值.函数的极大值为极小值统称为函数的极值，使函数取得极值的点兀0称为函数/(兀)的极值点.(2)驻点使ff(x)=0的点兀称为函数/(x)的驻点.(3)极值的必要条件设函数/(X)在兀0处可导，且在点X。处
5、取得极值，那么/U)=o-(4)极值第1充分条件设函数/(X)在点X。连续，在点心的某一去心邻域内的任一点X处可导，当兀在该邻域内由小增人经过兀0时，如果①广（X）由正变负，那么心是/（X）的极大值点，/（心）是/（X）的极大值；②广（兀）由负变正，那么心是/（兀）的极小值点，/（勺）是/（尢）的极小值；③广⑴不改变符号，那么兀。不是/（X）的极值点.（5）极值的第二充分条件设函数/（兀）在点无）处有二阶导数，且广（兀（））二0,厂（x（））hO,则x（）是函数/（兀）的极值点，/（兀。）为函数/（兀）的极值，口有①如果r（xo）＜o,则/（兀）在点
6、兀°处取得极大值;②如果rao）＞o,则于（兀）在点％处取得极小值・5.函数的最大值与最小值在闭区间上连续函数一定存在看最大值和最小值•连续函数在闭区间上的最大值和最小值只可能在区间内的驻点、不可导点或闭区间的端点处取得.6.函数图形的凹、凸与拐点（1）曲线凹向定义若在区间@上）内曲线y=f（x）各点的切线都位于该曲线的下方,则称此曲线在@上）内是向上凹的（简称上凹，或称下凸）；若曲线y=/（x）各点的切线都位于曲线的上方，则称此曲线在⑺小）内是向下凹的（简称下凹，或称上凸）.⑵曲线凹向判定定理设函数在区间⑺小）内具有二阶导数，①如果在区间（a,b）
7、内fx）＞0,则曲线y=f（x）在（a,b）内是上凹的.②如果在区间（a,b）内尸（兀）＜0,则曲线y=f（x）在（a,b）内是下凹的.⑶拐点若连续曲线y=/（x）上的点P（x（）,y°）是曲线凹、凸部分的分界点，则称点P是曲线y=/（x）的拐点.7.曲线的渐近线⑴水平渐近线若当兀TOO（或XT+8或兀T—co）时，有（b为常数）,则称曲线）yfM有水平渐近线y=b.⑵垂直渐近线若当xtq（或x-＞a-或xtg+）（a为常数）时，有/（x）too,则称曲线J=/（x）有垂直渐近线X=a.⑶斜渐近线若函数y=/（X）满足a=lim四，b=-闵（其中自
8、变量的变化过程XT00可同吋换成XT+C0或XT-00）,则称曲线y=f（x）有斜渐近线二、主要解题方法1.
