一元函数微分学的应用

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1、第四章微分学的应用一、本章学习要求与内容提要(一)学习要求1.了解罗尔中值定理、拉格朗日中值定理与柯西中值定理.2.会用洛必达法则求未定式的极限.3.常握利用一阶导数判断函数的单调性的方法.4.理解函数的极值概念，掌握利用导数求函数的极值的方法，会解简单一元函数的最大值与最小值的应用题.5.会用二阶导数判断函数图形的凹性及拐点，能描绘简单函数的图形.重点用洛必达法则求未定式的极限，利用导数判断函数的单调性与图形凹性及拐点，利用导数求函数的极值的方法以及求简单一元函数的最大值与最小值的应用题.(二)内容提要1.三个微分中值定理(1)罗尔(Rolle)定理如果函数y=/(

2、Q满足下列三个条件：①在闭区间山,创上连续；②在开区间⑺小)内可导；则至少存在一点gG(a,b),使/@)=0•⑵拉格朗日(Lagrange)中值定理如果函数y=/(兀)满足下列两个条件：①在闭区间［a,b］上连续；②在开区间(。力)内可导，则至少存在一点gg,使得广(§)=⑷，或f(b)-f(a)=-a).b-a(3)柯西(Cauchy)中值定理如果函数于(兀)与g(Q满足下列两个条件：①在闭区间［⑦甸上连续；②在开区间(Q,b)内可导，且g'(X)HO,兀,则在(d“)内至少存在一点使得f（b）二/⑷二广©g@）-g（d）g@）2.洛必达法则如果①lim/（x）=

3、0,limg（x）=0;x—>x0x—②函数/（兀）与g（x）在勺某个邻域内（点如可除外）可导，且gx）0；（3）lim=A（A为有限数,也可为oo,+oo或-8）mnJf°g（x）1八丿"TH）g（X）XT勺g'（兀）注意上述定理对于兀—00时的°型未定式同样适用，对于XTX（）或兀TOO时的竺0°oo型未定式也有相应的法则.2.函数的单调性定理设函数/（劝在闭区间［Q0］上连续，在开区间（⑦历内可导，则有①若在（a,b）内f（x）>0,则函数/（X）在［a9h］上单调增加；②若在（a,b）内f（x）<0,则函数/（%）在［67,/?］上单调减少.4.函数的极值、

4、极值点与驻点（1）极值的定义设函数于（兀）在点勺的某邻域内有定义，如果对于该邻域内任一点兀（兀H如）,都有/（兀）/（xo）,则称/（xo）是函数f（x）的极小值.函数的极大值与极小值统称为函数的极值，使函数取得极值的点兀称为函数/（劝的极值点.（2）驻点使f（x）=0的点x称为函数/（兀）的驻点.（3）极值的必要条件设函数/（X）在珀）处可导，且在点如处収得极值，那么/U）=o-（4）极值第一充分条件设函数/（X）在点兀（）连续，在点x（）的某一去心邻域内的任一点兀处

5、可导，当兀在该邻域内由小增大经过X。时，如果①广（兀）由正变负，那么兀。是/（兀）的极大值点，/（兀。）是/（兀）的极大值；①/'（尢）由负变正，那么兀。是/（劝的极小值点，.门如）是/（兀）的极小值；②/'（X）不改变符号，那么X（）不是/（X）的极值点.（5）极值的笫二充分条件设函数/（劝在点如处有二阶导数，且f（x（））=O,r（xo）^O,则如是函数/（无）的极值点，/（X。）为函数/（兀）的极值，且有①如果r（x0）＜（）,则/（Q在点勺处取得极大值；②如果/"（兀）＞0,贝IJ于（劝在点勺处取得极小值.5.函数的最大值与最小值在闭区间上连续函数一定存在着最

6、大值和最小值•连续函数在闭区间上的最大值和最小值只可能在区间内的驻点、不可导点或闭区间的端点处取得.6.函数图形的凹、凸与拐点⑴曲线凹向定义若在区间（。力）内曲线y=/（X）各点的切线都位于该曲线的下方，则称此曲线在⑺上）内是向上凹的（简称上凹，或称下凸）；若曲线y=/（x）各点的切线都位于曲线的上方，则称此曲线在（。力）内是向下凹的（简称下凹，或称上凸）.⑵曲线凹向判定定理设函数在区间（o,b）内具有二阶导数，①如果在区间劝内Ax）＞0,则曲线y=f（x）在⑺上）内是上凹的.②如果在区间（a,b）内fx）＜0,则曲线y=/（x）在（⑦历内是下凹的.⑶拐点若连续曲线

7、y=/（x）±的点PC%,y°）是曲线凹、凸部分的分界点，则称点P是曲线y=/（兀）的拐点.7.曲线的渐近线⑴水平渐近线若当或或XT-8）时，有f（X）^b（〃为常数），则称曲线y=f（x）有水平渐近线y=b.⑵垂直渐近线若当无TQ（或XT。一或x-＞/）（a为常数）时，有/（兀）—8,则称曲线〉uf(x)有垂直渐近线X=a.⑶斜渐近线若函数.y=f(x)满足"lim旦，b=lim[/(x)-ax](M中自变量的变牙*A―>00化过程可同时换成XT4W或XT-8),则称曲线y=f(x)有斜渐近线y=ax+b.二、主要解题方法1.用洛必达法则求未定式的