5.9正弦定理、余弦定理(三）--习题课

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1、5.9正弦定理、余弦定理(三）--习题课yyyy年M月d日星期（两课时）教学目标：1.进一步熟悉正、余弦定理内容；2.能够应用正、余弦定理进行边角关系的相互转化；3.能够利用正、余弦定理判断三角形的形状；4.能够利用正、余弦定理证明三角形中的三角恒等式.教学重点：利用正、余弦定理进行边角互换时的转化方向教学难点:三角恒等式证明中结论与条件之间的内在联系的寻求.一、复习引入：正弦定理：余弦定理：，二、新课教学：1.正余弦定理的边角互换功能对于正、余弦定理，同学们已经开始熟悉，在解三角形的问题中常会用到它.其实，在涉及到三角形

2、的其他问题中，也常会用到它们.两个定理的特殊功能是边角互换，即利用它们可以把边的关系转化为角的关系，也可以把角的关系转化为边的关系，从而使许多问题得以解决.，求例1已知a、b为△ABC的边，A、B分别是a、b的对角，且的值.解：∵(这是角的关系)，(这是边的关系).于是，由合比定理得∴例2已知△ABC中，三边a、b、c所对的角分别是A、B、C，且a、b、c成等差数列.求证：sinA＋sinC＝2sinB证明：∵a、b、c成等差数列，∴a＋c＝2b(这是边的关系)①③将②、③代入①，得整理得sinA＋sinC＝2sinB(这是角

3、的关系).②又例3．(08.全国Ⅱ理)设△ABC的内角A、B、C所对的边长分别为a、b、c，且(II)求的最大值．(I)求的值；解．(I)根据以及正弦定理，可得：因此，有：令则当且仅当时，取得最大值则yx2-3x+4y=0可得设2.正、余弦定理的巧用某些三角习题的化简和求解，若能巧用正、余弦定理，则可避免许多繁杂的运算，从而使问题较轻松地获得解决，现举例说明如下：例4求sin220°＋cos280°＋sin20°cos80°的值.解：原式＝sin220°＋sin210°－2sin20°sin10°cos150°∵20°＋10°＋

4、150°＝180°，∴20°、10°、150°可看作一个三角形的三个内角.设这三个内角所对的边依次是a、b、c，由余弦定理得：a2＋b2－2abcos150°＝c2（※）而由正弦定理知：a＝2Ｒsin20°，b＝2Ｒsin10°，c＝2Ｒsin150°，代入(※)式得：sin220°＋sin210°－2sin20°sin10°cos150°＝sin2150°＝∴原式＝.例5在△ABC中，三边长为连续的自然数，且最大角是最小角的2倍，求此三角形的三边长.分析：由于题设条件中给出了三角形的两角之间的关系，故需利用正弦定理建立边

5、角关系.其中sin2α=2sinαcosα利用正弦二倍角展开后出现了cosα，可继续利用余弦定理建立关于边长的方程，从而达到求边长的目的.例5在△ABC中，三边长为连续的自然数，且最大角是最小角的2倍，求此三角形的三边长.解：设三角形的三边长分别为ｘ，ｘ＋1，ｘ＋2，其中ｘ∈Ｎ*，又设最小角为α，则,①又由余弦定理可得ｘ2＝(x+1)2＋(x+2)2－2(x+1)(x+2)cosα②将①代入②整理得：ｘ2－3ｘ－4＝0解之得ｘ1＝4，ｘ2＝－1(舍)所以此三角形三边长为4，5，6.评述：此题所求为边长，故需利用正、余

6、弦定理向边转化，从而建立关于边长的方程.例6已知三角形的一个角为60°，面积为10cｍ2，周长为20cｍ，求此三角形的各边长.分析：此题所给的题设条件除一个角外，面积、周长都不是构成三角形的基本元素，但是都与三角形的边长有关系，故可以设出边长，利用所给条件建立方程，这样由于边长为三个未知数，所以需寻求三个方程，其一可利用余弦定理由三边表示已知60°角的余弦，其二可用面积公式Ｓ△ABC＝absinC表示面积，其三是周长条件应用.例6已知三角形的一个角为60°，面积为10cｍ2，周长为20cｍ，求此三角形的各边长.①②③解：设三角形

7、的三边长分别为a、b、c，B＝60°，则依题意得由①式得：b2＝［20-(a+c)］2＝400＋a2＋c2＋2ac－40(a+c)④将②代入④得400＋3ac－40（a＋c）＝0再将③代入得a＋c＝13由∴b1＝7，b2＝7所以，此三角形三边长分别为5cｍ，7cｍ，8cｍ.评述：(1)在方程建立的过程中，应注意由余弦定理可以建立方程，也要注意含有正弦形式的面积公式的应用.(2)由条件得到的是一个三元二次方程组，要注意体会其求解的方法和思路，以提高自己的解方程及运算能力..3.利用正、余弦定理证明三角形中的三角恒等式.

8、例7在任一△ABC中求证：证：左边==0=右边所以原等式成立4.正、余弦定理的综合运用余弦定理是解斜三角形中用到的主要定理，若将正弦定理代入得：sin2A＝sin2B＋sin2C－2sinBsinCcosA.这是只含有三角形三个角的一种关系式，利