5.9正弦定理、余弦定理(一）

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1、5.9正弦定理、余弦定理(一）yyyy年M月d日星期教学目标：⑴掌握正弦定理⑵能应用正弦定理解斜三角形，解决实际问题。教学重点：正弦定理教学难点：正弦定理的正确理解和熟练运用创设情境.B.A某游览风景区欲在两山之间架设一观光索道,要测的两山之间B.C两点的距离,现在岸边选定1公里的基线AB,并在A点处测得∠A=600，在C点测得∠C=450,如何求得B.C两点的距离?.C解：过点B作BD⊥AC交AC点D在Rt△ADB中，sinA=DB=ABsinA在Rt△CDB中，sinC=DB=BCsinCABsinA=BCsinC，即CABD复习引

2、入回忆一下直角三角形的边角关系?ABCcba两等式间有联系吗？这就是正弦定理，定理对直角三角形成立．对于锐角和钝角三角形，这一结论是否也成立呢？探究：jACB在锐角中，过A作单位向量j垂直于，则有j与的夹角为，j与的夹角为.等式怎样建立三角形中边和角间的关系？即同理，过C作单位向量j垂直于，可得新课教学：在钝角三角形中，它的证明又如何呢？jACB在钝角中，过A作单位向量j垂直于，则有j与的夹角为，j与的夹角为.等式.同样可证得：正弦定理在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即正弦定理可以解什么类型的三角形问题？已知两角和任意一边，

3、可以求出其他两边和一角；已知两边和其中一边的对角，可以求出三角形的其他的边和角.（R为△ABC外接圆半径）已知a,b和A,用正弦定理求B时的各种情况:⑴若A为锐角时:⑵若A为直角或钝角时:例题解析例1在中，已知，求b（保留两个有效数字）.解：∵且分析：这是属于已知两角和其中一角的对边问题例2在中，已知，求.解：由得∵在中∴A为锐角分析：这是属于已知两边和其中一边的对角问题例3.(08.四川文)△ABC的三内角A、B、C的对边边长分别为a、b、c．若则cosB=解析：由题意得选B．例4解：，例5已知△ABC，BＤ为B的平分线，求证：AB∶B

4、C＝AＤ∶ＤC分析：前面大家所接触的解三角形问题是在一个三角形内研究问题，而B的平分线BD将△ABC分成了两个三角形：△ABD与△CBD，故要证结论成立，可证明它的等价形式：AB∶AD＝BC∶DC，从而把问题转化到两个三角形内，而在三角形内边的比等于所对角的正弦值的比，故可利用正弦定理将所证继续转化为再根据相等角正弦值相等，互补角正弦值也相等即可证明结论.证明：在△ABD内，利用正弦定理得：在△BCD内，利用正弦定理得：∵BD是B的平分线.∴∠ABD＝∠DBC∴sinABD＝sinDBC.∵∠ADB＋∠BDC＝180°∴sinAD

5、B＝sin（180°－∠BDC）＝sinBDC∴∴评述：此题利用正弦定理将边的关系转化为角的关系，并且注意互补角的正弦值相等这一特殊关系式的应用.例6在中，，求的面积S．hABC三角形面积公式解：∴由正弦定理得练习：（1）在中，一定成立的等式是（）C（2）在中，若，则是()A．等腰三角形B．等腰直角三角形C．直角三角形D．等边三角形分析：由正弦定理式子可以写成由二倍角公式sinθ＝2sincos有sin=sin＝sin从而得到A=B=C,三角形是等边三角形（4）在任一中，求证：证明：由于正弦定理：令左边＝代入左边，得∴等式成立=右边（

6、3）.在△ABC中，sinA＞sinB是A＞B的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件C本题也可以将角转化为边来解决，要证明利用正弦定理只需证明a（b－c）＋b（c－a）＋c（a－b）＝0显然，上式成立。小结正弦定理两种应用从理论上正弦定理可解决两类问题：1．两角和任意一边，求其它两边和一角；2．两边和其中一边对角，求另一边的对角，进而可求其它的边和角。利用正弦定理进行边、角的关系转化（R为△ABC外接圆半径）