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1、5.9正弦定理、 余弦定理(二）yyyy年M月d日星期1教学目标：1．掌握正弦定理、余弦定理；2．能初步运用它们解斜三角形，并会解决斜三角形的计算问题。教学重点：正弦定理、余弦定理的运用。教学难点：正弦定理、余弦定理的灵活运用正弦定理在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即正弦定理可以解什么类型的三角形问题？已知两角和任意一边，可以求出其他两边和一角；已知两边和其中一边的对角，可以求出三角形的其他的边和角.（R为△ABC外接圆半径）一、复习引入：已知a,b和A,用正弦定理求B时的各种情况:⑴若A为锐角时:⑵若A为直角或钝
2、角时:在Rt△ABC中(若C=90)有：在斜三角形中一边的平方与其余两边平方和及其夹角还有什么关系呢？问题：若△ABC为任意三角形，已知角C，BC=a,CA=b,求AB边c.ABCabc探究二、新课教学：余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍.余弦定理的证明除了刚才的向量法，还有一些其他的方法，如初等几何法，坐标系法。下面给出坐标系法的证明，供大家学习参考bAacCB证明：以CB所在的直线为X轴，过C点垂直于CB的直线为Y轴，建立如图所示的坐标系，则A、B、C三点的坐标分别为：坐
3、标系法2．余弦定理可以解决的问题利用余弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题：（1）已知三边，求三个角；（2）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角。三、例题解析：例1在ΔABC中，已知a＝7，b＝10，c＝6，求A、B和C.＝0.725，∴A≈44°解：∵∴B＝180°－(A＋C)≈100°.∵＝0.8071，∴C≈36°,(∵sinC＝≈0.5954,∴C≈36°或144°(舍).)例2在ΔABC中，已知a＝2.730，b＝3.696，C＝82°28′，解这个三角形.解：由，得c≈4.297.∵≈0.7767，∴A≈3
4、9°2′,∴B＝180°－(A＋C)＝58°30′.例3ΔABC三个顶点坐标为(6，5)、(－2，8)、(4，1)，求A.解法一：∵
5、AB
6、＝
7、BC
8、＝
9、AC
10、＝=∴A≈84°.例3ΔABC三个顶点坐标为(6，5)、(－2，8)、(4，1)，求A.∴cosA＝∴A≈84°.解法二：∵＝(–8，3)，＝(–2，–4).例4．(08.湖北理)在△ABC中，三个角A、B、C的对边边长分别为a=3，b=4，c=6，则的值为。解析：例5设=(x1,y1)=(x2,y2)与的夹角为（0≤≤），求证：x1x2+y1y2=
11、
12、
13、
14、cos
15、终点为A，B，则A=(x1,y1)B=(x2,y2)证明：如图，设起点在原点，在△ABC中,由余弦定理=
16、(x2-x1,y2-y1)
17、2=(x2-x1)2+(y2-y1)2
18、
19、2=x12+y12，
20、
21、2=x22+y22∴(x2-x1)2+(y2-y1)2=x12+y12+x22+y222
22、
23、
24、
25、cos∴x1x2+y1y2=
26、
27、
28、
29、cos•即有x1x2+y1y2=
30、
31、
32、
33、cos例6.在△ABC中，bcosA＝acosB，试判断三角形的形状解法一：利用余弦定理将角化为边.∵bcosA＝acosB,∴b2＋c2－a2＝a2＋
34、c2－b2,∴a2＝b2,∴a＝b，故此三角形是等腰三角形.例6.在△ABC中，bcosA＝acosB，试判断三角形的形状解法二：利用正弦定理将边转化为角.∵bcosA＝acosB又b＝2ＲsinB，a＝2ＲsinA，∴2ＲsinBcosA＝2ＲsinAcosB∴sinAcosB－cosAsinB＝0∴sin（A－B）＝0∵0＜A，B＜π，∴－π＜A－B＜π，∴A－B＝0即A＝B故此三角形是等腰三角形.练习1.在△ABC中，bCosA=acosB，则三角形为()A.直角三角形B.锐角三角形C.等腰三角形
35、D.等边三角形2.在△ABC中，若a2＞b2+c2，则△ABC为；若a2=b2+c2，则△ABC为；若a2＜b2+c2且b2＜a2+c2且c2＜a2+b2，则△ABC为.3.在△ABC中，sinA=2cosBsinC，则三角形为.4.在△ABC中，BC=3，AB=2，且，A=.钝角三角形C等腰三角形直角三角形锐角三角形120°余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍.小结利用余弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题：（1）已知三边，求三个角；（2）已知两边和它们的夹角，求
36、第三边和其他两个角。
