高一数学 5.9正弦定理、余弦定理（备课资料） 大纲人教版必修

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1、●备课资料1.正余弦定理的边角互换功能对于正、余弦定理，同学们已经开始熟悉，在解三角形的问题中常会用到它.其实，在涉及到三角形的其他问题中，也常会用到它们.两个定理的特殊功能是边角互换，即利用它们可以把边的关系转化为角的关系，也可以把角的关系转化为边的关系，从而使许多问题得以解决.［例1］已知a、b为△ABC的边，A、B分别是a、b的对角，且，求的值.解：∵，∴，又（这是角的关系），∴（这是边的关系）.于是，由合比定理得.［例2］已知△ABC中，三边a、b、c所对的角分别是A、B、C，且a、b、c成等差数列.求证：sinA＋sinC＝

2、2sinB证明：∵a、b、c成等差数列，∴a＋c＝2b（这是边的关系）①又，∴a＝②c＝③将②③代入①，得＝2b整理得sinA＋sinC＝2sinB（这是角的关系）.2.正、余弦定理的巧用某些三角习题的化简和求解，若能巧用正、余弦定理，则可避免许多繁杂的运算，从而使问题较轻松地获得解决，现举例说明如下：［例3］求sin220°＋cos280°＋sin20°cos80°的值.解：原式＝sin220°＋sin210°－2sin20°sin10°cos150°∵20°＋10°＋150°＝180°，∴20°、10°、150°可看作一个三角形的

3、三个内角.设这三个内角所对的边依次是a、b、c，由余弦定理得：a2＋b2－2abcos150°＝c2（*）而由正弦定理知：a＝2Rsin20°，b＝2Rsin10°，c＝2Rsin150°，代入（*）式得：sin220°＋sin210°－2sin20°sin10°cos150°＝sin2150°＝∴原式＝.●备课资料1.正、余弦定理的综合运用余弦定理是解斜三角形中用到的主要定理，若将正弦定理代入得sin2A＝sin2B＋sin2C－2sinBsinCcosA.这是只含有三角形三个角的一种关系式，利用这一定理解题，简捷明快，下面举例说

4、明之.［例1］在△ABC中，已知sin2B－sin2C－sin2A＝sinAsinC，求B的度数.解：由定理得sin2B＝sin2A＋sin2C－2sinAsinCcosB∴－2sinAsinCcosB＝sinAsinC∵sinAsinC≠0∴cosB＝－∴B＝150°［例2］求sin210°＋cos240°＋sin10°·cos40°的值.解：原式＝sin210°＋sin250°＋sin10°·sin50°在sin2A＝sin2B＋sin2C－2sinBsinCcosA中，令B＝10°，C＝50°，则A＝120°.sin2120°＝

5、sin210°＋sin250°－2sin10°sin50°·cos120°＝sin210°＋sin250°＋sin10°sin50°＝（）2＝.［例3］在△ABC中，已知2cosBsinC＝sinA，试判定△ABC的形状.解：在原等式两边同乘以sinA得2cosBsinAsinC＝sin2A，由定理得sin2A＋sin2C－sin2B＝sin2A，∴sin2C＝sin2B∴B＝C故△ABC是等腰三角形.2.一题多证［例4］在△ABC中已知a＝2bcosC，求证：△ABC为等腰三角形.证法一：欲证△ABC为等腰三角形.可证明其中有两角相

6、等，因而在已知条件中化去边元素，使只剩含角的三角函数.由正弦定理得a＝∴2bcosC＝，即2cosC·sinB＝sinA＝sin（B＋C）＝sinBcosC＋cosBsinC.∴sinBcosC－cosBsinC＝0即sin（B－C）＝0，∴B－C＝nπ（n∈Z）.∵B、C是三角形的内角，∴B＝C，即三角形为等腰三角形.证法二：根据射影定理，有a＝bcosC＋ccosB，又∵a＝2bcosC∴2bcosC＝bcosC＋ccosB∴bcosC＝ccosB，即.又∵.∴，即tanB＝tanC∵B、C在△ABC中，∴B＝C∴△ABC为等腰三

7、角形.证法三：∵cosC＝及cosC＝，∴，化简后得b2＝c2.∴b＝c∴△ABC是等腰三角形.3.参考例题［例1］在△ABC中，若，试判断△ABC的形状.解：由已知及正弦定理得∴sin2A=sin2B∴2A=2B或2A+2B=π，即A=B或A+B=，故△ABC为等腰三角形或直角三角形.［例2］已知△ABC的三个内角A、B、C依次成等差数列，又三边a、b、c依次成等比数列，求证：该三角形为正三角形.证法一：∵A、B、C成等差数列，则2B=A+C，又A+B+C=180°，∴3B=180°，∴B=60°，再由a、b、c成等比数列，可得b2

8、=ac，因此用余弦定理b2=a2+c2－2accosB，∴ac=a2+c2－2ac·，即（a－c）2=0∴a=c，A=C又B=60°∴△ABC为正三角形.证法二：∵A、B、C成等差数列，则2B=A+C，又A+B+C=18