中学数学研究-陕080807基于学生数学探究的一节复习课

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1、资料编号14436导数导数在研究函数中的应用摘要郑日锋发表在陕080807上属于教法、类型、复习题为《基于学生数学探究的一节复习课》2008年4月25日，浙江师范大学“百人千场”送教下乡活动在浙江省丽水市遂昌中学举行．此次活动特邀浙江省杭州学军中学郑日锋老师执教“导数在研究函数中的应用”（人民教育出版社出版的教科书（A版）选修1—1)．这是一节针对文科学生的复习课，如何上好这节复习课呢？笔者研读教材后，尝试以教材第10页复习题：“已知函数在处有极大值，求的值”中的函数载体，取让学生探究其单调性、极值与

2、最值，然后通过变式教学，自然而然引出一个个问题，引导学生完成“导数在研究函数中的应用”的复习．即基于学生的数学探究，完成了学生数学知识的归纳与梳理．1教学过程简录1.1基本问题：再现知识，夯实“双基”教师：牛顿、莱布尼兹创立了微积分，导数作为微积分的重要组成部分，进人了中学教材，有了导数这个工具，我们研究函数如虎添翼．这节课我们从一个基本问题出发，来一次利用导数研究函数的探究之旅，请看下面的问题：问题1已知函数.(1）求的单调区间；(2）求的极值．学生1（板演）:(1）的单调递增区间为，单调递减区间为

3、(2)当时有极大值；当时，有极小值0.（过程略）教师：你能根据已经解决的两个问题，画出的大致图象吗？众：能！教师：请画出的大致图象（一名学生到黑板上画）.教师：请大家对这位同学画的图与屏幕上“几何画板”画的图作一比较．（对学生画的图的评价略）教师：从的图象看，在R上有无最大值、最小值？学生2：由于的图象无最高点、最低点，所以在R上无最大值、最小值．教师：很好．如果将定义域限制在闭区间上呢？学生3:在闭区间上必有最大值、最小值．教师：为什么？学生3：是可导函数，在闭区间上连续，所以必有最大值、最小值．教

4、师：不错，这位同学的基本功很扎实．现在请同学们解决问题2.问题2求函数，的最大值与最小值。学生4（板演）：在问题1的基础上，列表后求出学生3：利用的图象可以直接求出的最大值与最小值．教师：太棒了！学生4从数的角度解决了问题2,学生3从形的角度解决了问题2.教师：问题1与问题2说明利用导数可以研究函数的哪些性质？如何研究？学生众：其一，求函数的单调区间；其二，求函数的极值；其三，求函数的最值．（方法从略）教师：这三类函数问题是利用导数要研究的主要问题，刚才同学们归纳得相当不错，表明大家对导数的应用有了较

5、深刻的认识．下面我们将问题1、2进行变式，首先将的解析式中的一次项系数改为就成为含参数的函数了，得到如下的变式1，请同学们思考．1.2变式练习：知识迁移，触类旁通学生变式1已知函数了在（1,2）上为减函数，在上为增函数，求实数的值。学生5：，由已知，是的极小值点，所以得4.教师：这样做有没有缺陷？学生3：还要检验，不过经过检验是符合的．教师：很好，如果去掉“在上为增函数”这一条件，结论如何呢？学生众（经过思考、讨论）：由已知，对1

6、数在R上的单调性与其导函数的关系．学生：函数在R上是减函数0.教师：回头看前面的解法有无问题？学生1：有点小问题．应该是对1

7、决变式2.变式2已知函数在x=2处有极小值，求的值．学生6（板演），令得，由已知，，是函数的极小值点，教师：变式2是问题l第（2）小题的逆向问题：已知含参数的函数的极值点，求参数间题．请同学们归纳解决的策略．学生7：利用“可导函数在点处有极值的必要条件是.”得到关于参数的方程，解出方程的根，再检验.教师：完全正确，再来解决变式3.变式3设函数，是否有“对任意，不等式恒成立。”请说明理由。学生3：由问题2知，在的最大值为，最小值为0，所以对，恒有。教师：这种方法你是怎么想到的？学生3：从f(x）的图象得

8、到启发．教师：讲得很在理，函数图象是研究函数不可或缺的工具，在今后可别忘了它的作用！变式3实际上是证明某区间上任意两个函数值的差的绝对值小于某正常数，我们的策略是转化为证明最大值与最小值的差小于此正常数，当然有二个前提是——学生众：在此区间上f(x）有最大值与最小值．学生1：我的想法是将代人，行吗？．教师：这位同学爱动脑筋，这种方法请课后去探讨．现在请同学们编二道题目，就叫变式4吧·1.3编题练习：提升能力，发展思维学生4：我编的题目是：（变式4）已知函