2018_2019学年高中数学第二章空间向量与立体几何2.6距离的计算课时作业北师大版

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1、2.6距离的计算[基础达标]已知AB，BC，CD为两两垂直的三条线段，且它们的长都为2，则AD的长为(　　)A．4B．2C．3D．2解析：选D.法一：取以AB、BC、CD为棱的正方体，易得

2、AD

3、2＝

4、AB

5、2＋

6、BC

7、2＋

8、CD

9、2，∴

10、AD

11、＝2.法二：取基底{，，}，则＝＋＋，∴2＝(＋＋)2＝2＋2＋2＋2·＋2·＋2·＝12.∴

12、AD

13、＝2.已知直线l过定点A(2，3，1)，且方向向量为n＝(0，1，1)，则点P(4，3，2)到l的距离为(　　)A.B．C.D．解析：选A.＝(－2，0，－1)，

14、

15、＝，＝，则点P到直线l的距离d＝＝＝.如图，已知平面α、

16、平面β的夹角为120°，AC在α内，BD在β内，且AC⊥AB，BD⊥AB，AB＝AC＝BD＝a，则CD的长是(　　)A．aB．2aC．3aD．4a解析：选B.因为＝＋＋，所以

17、

18、2＝(＋＋)·(＋＋)＝

19、

20、2＋

21、

22、2＋

23、

24、2＋2(·＋·＋·)＝a2＋a2＋a2＋2a2cos60°＝4a2，所以

25、

26、＝2a，CD＝2a.正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，则直线A1C1到平面ACD1的距离为(　　)A．1B．C.D．解析：选B.建立如图所示的空间直角坐标系，易求得平面ACD1的一个法向量为n＝(1，1，1)，故所求距离为C1到平面ACD1的距离，∴d＝＝.正方体

27、ABCD-A1B1C1D1的棱长为a，则平面AB1D1到平面BDC1的距离为(　　)A.aB．aC.aD．a解析：选D.明显A1C⊥平面AB1D1，以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴建立空间直角坐标系，则面AB1D1的一个法向量为n＝(1，－1，1)，A(a，0，0)，B(a，a，0)，＝(0，－a，0)，则两平面间的距离为d＝

28、·

29、＝＝a.平行六面体ABCDA1B1C1D1中，AB＝1，AD＝2，AA1＝3，∠BAD＝90°，∠BAA1＝∠DAA1＝60°，则AC1的长为________．解析：取基底{，，}，则＝＋＋，∴2＝(＋＋)2＝2＋2＋2

30、＋2·＋2·＋2·＝12＋22＋32＋2×2×3cos60°＋2×1×3cos60°＝23.故

31、

32、＝.答案：三棱锥SABC中，SA⊥平面ABC，AB⊥AC，且AS＝AB＝AC＝2，D是SA的中点，则点D到BC的距离为________．解析：如图所示，建立空间直角坐标系，则D(0，0，1)，B(2，0，0)，C(0，2，0)，∴＝(－2，0，1)，＝(－2，2，0)，∴在上的投影长为＝＝，故D到BC的距离为＝.答案：已知ABCA1B1C1是各条棱长均等于a的正三棱柱，D是侧棱CC1的中点，则点C1到平面AB1D的距离为________．解析：建立如图所示的空间直角坐

33、标系，则A(0，0，0)，B(a，a，0)，B1(a，，a)，D(0，a，)，C1(0，a，a)，设平面AB1D的法向量为n＝(x，y，z)，则，即.∵，取z＝－2，则y＝1，x＝，∴n＝(，1，－2)，＝(0，0，－)，则点C1到平面AB1D的距离为＝a.答案：a在如图所示的空间直角坐标系中有长方体ABCDA′B′C′D′，且AB＝AD＝1，BB′＝2，M，N分别是A′D′，D′C′的中点，求直线AC与直线MN的距离．解：依据长方体的性质可知AC∥MN，故两直线间的距离为点M到直线AC的距离．由题意得＝(－1，1，0)，＝(0，，－2)．所以点M到直线AC的距离

34、d＝＝＝.如图，在四棱锥SABCD中，AD∥BC且AD⊥CD，平面CSD⊥平面ABCD，CS⊥DS，CS＝2AD＝2，E为BS的中点，CE＝，AS＝.求点A到平面BCS的距离．解：如图，以S(O)为坐标原点，OD、OC所在直线分别为x轴、y轴，建立空间直角坐标系．设A(xA，yA，zA)，因平面COD⊥平面ABCD，AD⊥CD，故AD⊥平面COD，即点A在xOz平面上，因此yA＝0，zA＝

35、

36、＝1.又x＋12＝

37、

38、2＝3，xA＞0，解得xA＝.从而A(，0，1)．因AD∥BC，故BC⊥平面CSD，即平面BCS与平面yOz重合，从而点A到平面BCS的距离为xA＝.[

39、能力提升]在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，P，Q分别为线段BD1，CC1上的动点，则PQ的最小值为(　　)A.B．C.D．解析：选D.PQ的最小值即为异面直线CC1，BD1间的距离，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0，0，0)，B(1，0，0)，D1(0，1，1)，C(1，1，0)，C1(1，1，1)，所以＝(－1，1，1)，＝(0，0，1)，设Q(1，1，z)，z∈[0，1]，令＝λ(λ∈[0，1])，则＝(－λ，λ，λ)，∴＝＋＝(1－λ，λ，λ)，＝－＝(λ，1－λ，z－λ)，∵，∴，∴z＝λ＝，即P(，，)，Q(1，1，)，故

40、PQ

41、＝＝

42、.在直四棱