巧用等差、等比数列性质解题

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1、巧用等差（比）数列性质解题055350河北隆尧一中焦景会1.高考提示等差、等比数列的定义，等差（比）中项，通项公式及前n项和公式，经常贯穿在选择、填空、解答题中，要会灵活运用等差（比）数列性质，去解决一些等差（比）数列问题。2.解题方法例题1、在等差数列{an}中，，，求。[分析]由寻找之间的关系。[解答]设数列{an}公差为d，，，,,，所以成等差数列，公差100d,于是，得。[规律小结]1、在等差数列{an}中，成等差数列，即，，，……，成等差数列，且，即。2、可推广为，，……，。例题2、已知等比数列{an}，

2、若,求。[分析]1、由已知条件联立，求，q，从而可得；2、由等比数列性质，知成等比数列。[解答1]由,两式相除，得，。[解答2]由成等比，得。[规律小结]1、灵活应用性质，是简便解答的基础；2、等比数列中，序号成等差的项，成等比数列。[类题演变1]等比数列{an}，，求。[分析]等比数列中，连续若干项的和成等比数列。[解答]设，……，，则是等比数列，，，即。[规律小结]等比数列{an}，时，，……成等比数列，公比为。但总有，当k为偶数时，恒成立。[类题演变2]等比数列{an}中，成等差，则成等差。[分析]成等差，得

3、，要证等差，只需证。[解答]由成等差，得，当q=1时，,由得，。由，得，整理得，，得，两边同乘以，得，即成等差。[规律小结]1、等比数列{an}中，成等差，则成等差；2、等比数列{an}中，成等差，则（其中）成等差；3、等比数列{an}中，成等差，则（其中）成等差。例题3、等差数列{an}中，，求S20。[分析]利用性质结合等差数列前n项和公式求解。[解答]由，又，得，，。[规律小结]灵活应用通项性质可使运算过程简化。[类题演变1]等差数列{an}共10项，，，求Sn.[分析]已知数列前四项和与后四项和，联想Sn公

4、式推导方法，结合通项性质可解。[解答]已知，，相加得，得，。[规律小结]1、重视倒加法的应用，恰当运用通项性质：，快捷准确；2、求出后运用“整体代换”手段巧妙解决问题。[类题演变2]在等差数列{an}中，Sn=a,Sm=b,(m>n)，求Sn+m的值。[分析]下标存在关系：m+n=m+n,这与通项性质有关。[解答]由Sn=a,Sm=Sn+an+1+an+2+……+am=b，得an+1+an+2+……+am=b-a，即，得。由(n+1)+m=1+(n+m),得an+1+am=a1+am+n，故3.考点警示等差（比）数

5、列，在高考中始终处于热点位置，客观题突出“小而巧”，主要考察性质的灵活运用及概念理解，主观题都为“大而全”，考察函数与方程、等价转化、分类讨论等数学思想。4.连接练习1、等差数列{an}共2k+1项，所有奇数项和为，所有偶数项和为，求：的值。2、求由1,2,3,4四个数字组成的无重复数字的所有三位数的和。3、等比数列{an}，时，，求。4、在等差数列{an}中，，，求.5、在等差数列{an}中，，，求及。6、等差数列{an}共有3k项，前2k项和，后2k项和，求中间k项和。7、等比数列中，且，是等比数列，公比q()

6、，求证()也是等比数列。参考答案1、；2、由，；3、或（舍去）。4、40；5、0；110；6、。7、，，（）,得，而，，，（）,故是构成等比数列，公比为q。