利用导数 数形结合讨论二类方程根的问题

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1、利用导数、数形结合讨论二类方程根的问题湖北省仙桃市第八中学杜好军联系电话：13477412157导数是高中数学的重要内容，它是研究函数、方程、不等式等的重要工具。在探求诸如，+2方程的根的问题时，我们利用导数这一工具和数形结合的数学思想就可以很好的解决。此类题的一般解题步骤是：1、构造函数，并求其定义域。2、求导数，得单调区间和极值点。3、画出函数草图。4、数形结合，挖掘隐含条件，确定函数图象与轴的交点情况求解。下面利用导数讨论这二类方程根的问题。一、有关三次方程根的问题：对的根，在特殊情况下，我们可以直接猜出一根，然后转化为，再展开，应用待定系数法即可求出。再对求根得解。如；但大多数

2、三次方程的根不易猜出，这时我们就可以利用导数，数形结合讨论这一类方程根的情况。例1、方程的实根的个数是（）、3、2、1、0分析：此题是一个三次方程，不易猜根。可先构造函数，再通过求导数判断函数的单调性，画出其草图，数形结合分析求解。解：令=则==当或时0为增函数当时为减函数==013故的极大值在轴的下方，如图1，即的图象与轴只有一个交点，原方程只有一个实根。选。（图1）例2、已知函数在上是增函数，在上是减函数，若恰有一解，求实数的取值范围。分析：此题给出函数的单调区间，求参数的范围。可通过对函数求导得出其单调区间，它应包含题中给出的单调区间，初步得出的范围。又据恰有一解，即函数值对应惟

3、一值。可先由单调性画出草图，然后数形结合分析求解。解：函数在上是增函数，在上是减函数由得，，得由题意0即①又在和上递增，在上递减。如图2（图2）在的值域为即据图2可知，若恰有一解，只需得结合①二、有关超越方程根的问题：这时更不易猜根求解，但构造函数求导后，画出草图，数形结合，找到图象与轴的交点，则可化难为易。很快得解。例3、证明方程+2有惟一解。分析：这一方程形式比较复杂，观察易知是其一根，但不能说明它惟一。我们利用导数，解题步骤基本不变，不同之处是要首先考虑函数的定义域，在定义域的范围内求解。证明：移项得：=0令y01x当即时，，为增函数（图3）当即时，，为减函数。如图3，此时图象与

4、轴相切。与轴只有惟一交点故方程+2有惟一解。例4、若关于的方程在上恰好有两个相异的实根，求实数的取值范围。分析：这一方程已知根的情况，反过来要探求参变量的范围。仍可先构造函数，再利用导数判断其单调性，然后画出草图数形结合，根据图象与轴的交点情况，挖掘出隐含条件即可得解。解：方程可化为令则由得，得012在上递增，在上递减。（图4）要使关于的方程在上恰好有两个相异的实根，只需的图象与轴在和上各有一个交点。如图4所以有：即解之得：通过上面的例题分析，可以看出，对于三次方程、超越方程的根的问题（或是能转化为这二类方程根的问题），我们就可以先构造函数，运用导数这一工具，在定义域内求出其单调区间，

5、依题意作出草图，运用数形结合的数学思想，确定函数图象与轴的交点情况，挖掘隐含条件求解。导数是工具、图形是核心，找根是目标。