利用导数研究方程的根

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1、利用导数研究方程的根陕西省武功县张磊方程的根就是与之对应的函数的零点,通过导数的方法研究函数的性质后可以确定函数零点的情况,这就是使用导数的方法研究方程的根的基本思想.利用导数研究方程根的过程中用的主要数学思想方法就是数形结合,即首先通过导数研究函数的性质,根据函数的性质画出函数的图像,然后根据函数的图像确定方程根的情况.本题型作为高考题型在逐年升温,现从近几年高考试题中列举数例作分类探讨如下:一、函数y=f(x)的图像与x轴的交点问题.1、(09江西)设函数f(x)=x3−92x2+6x−a⑴对于任意的实数x,f'(x)≥

2、m恒成立,求m的最大值.⑵若方程f(x)=0有且仅有一个实根,求a的取值范围.解析:⑴略⑵f'(x)=3x2−9x+6=3(x−1)(x−2)因为当x<1时,f'(x)>0;当12时,f'(x)>0所以当x=1时,f(x)取得极大值,f(1)=52−a;当x=2时f(x)取得极小值f(2)=2−ay=f(x)草图如下:yy12x12x图1图2要使f(x)=0有且仅有一个实根,必须且只需f(x)取得极小值f(2)>0或f(x)取得极大值f(1)<0解得,a>52或a<2.变式引申①若方程f(x

3、)=0有且仅有两个实根,求a的取值范围y=f(x)草图如下:yy12x12x要使f(x)=0有且仅有两个实根,必须且只需f(x)取得极大值f(1)=0或f(x)取得极小值f(2)=0解得a=2或a=52变式引申②要使f(x)=0有且仅有三个实根,求a的取值范围y=f(x)草图如下y012x要使f(x)=0有且仅有三个实根,必须且只需fx极大值=f1=52-a>0fx极小值=f2=2-a<0解得2

4、'(x)。⑶、研究函数f(x)的单调性和极值。⑷、画出函数y=f(x)的草图,观察与x轴的交点情况,列出不等式或方程。⑸、解不等式或方程,得解。二、函数y=f(x)图像与直线y=b的交点问题2、(2008江西)已知函数f(x)=14x4+13ax3−a2x2+a4(a>0)⑴、求函数y=f(x)的单独区间⑵、若y=f(x)的图像与直线y=1恰有两个交点,求a的取值范围。解:⑴略⑵f'(x)=x3+ax2−2a2x=x(x+2a)(x−a)其导函数的图像如下左图:yy=1y=1-2a0a-2a0ax-2a0axf(x)极小值=

5、f(-2a)=-53a4f(x)极小值=f(a)=712a4f(x)极大值=f(0)=a4y=f(x)的草图如上中图、右图,由图知,要使y=f(x)的图像与直线y=1恰有两个交点,只要-53a4<1<712a4或a4<1解得a>4127或0

6、得y=f(x)的图像与y=g(x)图像的图像有且只有三个不同的交点？若存在,求出m的取值范围,若不存在,说明理由。解析:⑴略⑵因为y=f(x)的图像与y=g(x)图像的图像有且只有三个不同的交点,所以方程f(x)=g(x)有三个不同的解,对应的函数φ(x)=g(x)−f(x)=x2−8x+6lnx+m(注意x>0)的图像与x正半轴有且只有三个不同的交点,因为φ'x=2x-8+6x=2x-1(x-3)x要使φ(x)=0有三个不同的正实数根,必须且只需φx极大值=φ1=m-7>0φx极小值=φ3=m+6ln3-15<0解得7

7、<15-6ln3所以存在实数m,使得y=f(x)的图像与y=g(x)图像的图像有且只有三个不同的交点,m的取值范围为(7,15-6ln3)变式引申:若y=f(x)的图像与y=g(x)图像的图像有且只有一个不同的交点,求m的范围?有且只有两个不同的交点呢?练习08年四川理22题;06四川文科21题;06福建文科21;2011湖南