方程——数形结合

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1、方程专题——数形结合一．教学分析1.教学内容分析方程是研究数量关系和变化规律的数学模型，它可以更准确地描述数量关系、更清晰地刻画变化规律。方程是初中数学教学的一个重要内容,也是初中学生用来解决问题的主要手段，是解决实际问题的重要工具，它对于学生发展用数学的意识有着重要的作用。方程不用按逆向思维思考，可直接列出等式并含有未知数。它具有多种形式，如一元一次方程、二元一次方程（组）、一元二次方程等。因此，在方程的学习中，应关注建模和应用的过程，让学生经历“问题情境—建立方程模型—解方程—解的合理性”的全过程。《课程标准》明确指出：“加强数学思想方法

2、在进行数学思考和解决问题中的作用，引导学生从解题的思想和方法上考虑问题，达到巧妙解题。”数形结合的思想贯穿初中数学教学的始终，它是一种比较一般而又十分重要的思想方法。数形结合思想就是把刻划数量关系的数和具体直观的图形有机结合，是抽象思维和形象思维结合，通过“以形助数”或“以数解形”使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而达到优化解题途径的目的。本节课的教学任务就是：依托旧知（方程模型），结合新知（勾股定理的知识），让学生感受一些应用问题中的等量关系就隐含着数形结合，让学生理解数形结合思想在解决问题时发挥的作用，为今后进一步学习数形结合思想奠定基

3、础。1.教学对象分析八年级学生已经学习了一次方程，具备利用等量关系正确列出方程并求解的能力，他们曾经在“方程（组）应用”教学中的行程问题（追击和相遇）、劳动力调配问题、工程问题、图形问题,就已经涉及了数形结合的思想方法。或依据题意画出相应的示意图,或借助图形的直观观察，才能帮助七年级学生迅速找出等量关系，列出方程,从而突破难点。而且，他们也学会把有理数、不等式解集表示在数轴上，这也是数形结合思想的渗透。因此，本节课的教学内容放眼于八年级学生的新知（勾股定理），立足于方程，让学生更好的理解数形结合的思想，而且勾股定理的内容本身就是数形结合的最好

4、体现。2.教学环境分析为了提高教学实效，结合教学内容安排，选择多媒体教室。一．教学目标1.了解数形结合在解决方程问题中的作用，化抽象为直观，化直观为精确，从而使问题得到简捷解决。2.通过运用数形结合的思想解题，培养学生的观察能力、分析归纳能力，理解数形结合转化问题的思想方法。3.提高学生分析问题和解决问题的能力．培养学生独立思考的习惯和合作交流意识。二．教学重点、难点1.重点：理解数形结合转化问题的思想方法。1.难点：在代数与几何的结合点上去找出解题思路，如何以数思形、以形思数，从而达到数形结合、解决问题的目的。一．教学过程感知数形结合（一）

5、教学流程理解数形结合运用数形结合归纳总结（二）教学过程设计第一环节：感知数形结合1.课前观看微视频。2.完成课前练习。引例：如图，纸上有五个边长为1的小正方形组成的图形，我们可以把它剪开拼成一个正方形。（1）下图中虚线正方形的面积是，边长是。（2）如图，将五个边长为1的正方形组成的十字形剪拼成一个正方形,请画出来。（3）你能把10个小正方形组成的图形纸剪开并拼成正方形吗？若能，请在下图中画出。【设计意图】微视频的学习让学生初步感受到：有理数的内容体现了数形结合思想，不等式的内容中蕴藏着数形结合思想，应用问题中也隐含着数形结合思想。让学生了解这

6、种思想方法贯穿在数学学习中。引例是一类很常见的问题，而且勾股定理的验证方法中也有图形的剪拼。有人把这种方法叫做“面积法”，其实“面积法”这个名字并没有揭示这类方法的所有本质。“面积”是剪拼问题中的一个“不变量”，几乎所有的剪拼问题，都可以先抓住“面积”这个不变量来进行“数”的计算。另一方面，“面积”本身就是从“数”的角度来刻画“图形”的大小特征的一个概念。因此，所谓“面积法”，实际上就是“数形结合”这种数学思想的一种具体体现。通过学生经历这个过程，体会用数形结合解题的巧妙之处。第二环节：理解数形结合（一）以数解形1.如图，在长方形ABCD中，

7、AB＝3cm，AD＝9cm，将此长方形折叠，使点B与点D重合，折痕为EF。你能找出图中相等的线段吗？你能求出哪些线段的长度？G2.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°,AC=6cm,AB=10cm,动点P从点C沿CA以1cm/s的速度向A点运动，同时动点O从C点沿CB以2cm/s的速度向点B运动，其中一个动点到达终点时，另一个动点也停止运动。则几秒后，运动过程中所构成的△CPQ的面积等于9.3.如图，在△ABC中，AB＝10，BC＝9，AC＝17，求：（1）BC边上的高．（2）试一试：你能求出AC边上的高吗？【设计意图】这三道题都或多或少的用

8、到了勾股定理的知识，也涉及了方程的模型，但更重要的是隐含了数形结合思想中的一方面——以数解形。同时，每道题肩负的使命又不一样：第一题是勾股定理的折叠问题，比较典型的