浅析数形结合

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1、浅析数形结合　　【摘要】数与形是数学中两个最古老、最基本的元素，所有的数学问题都是围绕数和形的提炼、演变、发展而展开的。每一个几何图形中都蕴藏着一定的数量关系，而数量关系又常常可以通过图形的直观性做出形象的描述。因此，数形结合是数学学习中一种重要的数学思想方法。　　【关键词】数形结合高中数学解决问题注意点　　【中图分类号】G632【文献标识码】A【文章编号】1674-4810（2015）30-0092-03　　数学是研究空间形式和数量关系的一门学科，所以数形结合是解决数学问题的重要方法。“形是数的翅膀，数是形的灵魂”，

2、所谓数形结合就是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化解决问题的一种重要的思想方法。它包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面，其应用大致可以分为两种情形：一方面是借助形的生动和直观性来阐明数之间的联系，即以形作为手段，数为目的;另一方面是借助数的精确性和规范严密性来阐明形的某些属性，即以数作为手段，形作为目的。其实质是将抽象的数学语言与直观的图形结合起来，将代数问题与图形相互转化，从而使代数问题几何化、几何问题代数化。下面我就数形结合在高中数学教学中解决的问题，及在运用数形结合思想分析和解决问题时的注意点，谈些

3、粗浅认识。　　一数形结合在高中数学教学中解决问题4　　例3，解决集合问题　　在处理集合运算时，常常借助于数轴对集合间关系加以判断，对集合的交、并、补等进行运算;一般借助韦恩图来处理抽象集合间关系的判断、运算，通过画韦恩图表示出各集合，可以直观形象地表现出各部分数量间的关系，从而使抽象问题简单形象化，很快找到问题的答案，使运算快捷明了，而且又不易出错，学生易于理解掌握。　　例：已知集合A=[0，4]，B=[-2，3]，求A∩B。　　分析：对于这两个有限集合，我们将它们在数轴上表示出来，就可以很清楚的知道结果。由图我们不难

4、得出A∩B=[0，3]。　　2.解决函数问题　　借助于函数图像来研究函数的性质是一种常用的数学方法。通过函数图像的几何特征（函数图像在同一坐标系中分布及图像的延伸趋势和图像伸展“速度”）与数量特征（变量的取值范围及参数的取值）紧密结合，体现了数形结合的特征与方法。如在研究指数函数y=ax（a大于0且a不等于1）的图像和性质时，就是给a取不同的值，引导学生在同一坐标系中做出相应函数的图像，通过观察图像从而归纳得出指数函数的一些性质。在讨论函数的值域（或最值）时，先求解变量的取值范围，再运用数形结合思想，将数与形等价转化，

5、既考查了学生的化归转化能力，又培养了学生的逻辑思维能力，是函数教学中的一项重要内容。　　3.解决方程与不等式问题4　　在处理方程问题时，把求方程的根的问题看作求两个函数图像的交点问题，通过作图可以很快得到问题的答案，这就是把代数与几何有机地结合起来，使问题的解决得到简化。对于一些比较复杂的方程使用常规的方法无法求解，如果采用数形结合思想，可以使问题得到解决。如：求方程x2=2x的根的个数时，引导学生方程两边分别对应两个y=x2与y=2x函数，然后让学生在同一坐标系下作出这两个函数的图像，通过观察函数图像的交点个数，学生

6、便可很快求得方程根的个数。在整个解题过程中，让学生体会了将方程的根与函数图像的交点相互转化的方法，用到了化归转化的思想，同时又训练的学生作图、读图、识图的能力，使学生的思维得到了很好的训练。　　在处理不等式时，联系相关函数，数形结合，着重分析其几何意义，从图形上来寻找解决问题的思路。如在学习一元二次不等式的解法时，从具体的二次函数与一元二次方程的关系出发，利用二次函数图像的直观性，数形结合借助方程的根是二次函数的两个零点，引导学生观察二次函数的图像上任一点横纵坐标的变化，归纳出一元二次不等式解集的求法。在此过程中，充分

7、体现了数形结合的重要性。　　4.解决三角函数问题　　单位圆是研究三角函数的重要工具，借助它的直观性，可以使学生更好地理解三角函数的概念和性质，在学习余弦函数图像时，通过平移三角函数线来描点，准确快捷，使学生更好地体会数形结合的思想。有关三角函数单调区间的确定、比较三角函数值的大小、求解简单的三角不等式等问题时，一般要借助于单位圆中的三角函数线或三角函数图像来处理，所以数形结合思想是处理三角函数问题的重要方法。　　5.解决线性规划问题4　　线性规划问题是在线性约束条件下求解目标函数的最值问题。解决线性规划问题时，利用图解

8、法求目标函数的最值，就是通过观察目标函数在坐标轴上截距的变化，从而找到目标函数的最优解，从而使问题得到解决。　　6.解决数列问题　　数列作为一种特殊的函数，数列的通项公式以及前n项和公式可以看作关于正整数n的函数。用数形结合的思想研究数列问题就是借助函数的图像进行直观的分析，从而把数列的有关问题转化为函数的有关问题来解决。如在等差