数形结合思想浅析

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1、数形结合思想浅析数形结合思想是中学数学中的一种重要的数学思想。所谓数形结合是将数学中抽象的数学语言、数量关系与具体直观的图像结合起来，利用抽象思维与形象思维的有机结合，借助形的具体明确来反映数量之间的关系，借助数来具体描述形的本质内涵。它的实质是把抽象的数学语言、数量关系和直观的图形结合起来，它包括“以形助数”和“以数辅形”两个方面。用这种思想来解决数学问题往往可以使复杂的问题简单化、抽象问题具体化。数形结合思想既能发挥代数的优势，又可以充分利用图形的直观性，从多个角度探索问题，对思维能力的提升大有益处。　　我国著名的数学家华罗庚曾说：“数形结合百般好，割裂分家万事非”，“数”与“形”反映

2、了事物两个方面的属性。我们认为数形结合主要指的是数与形之间一一对应的关系。　　实现数形结合，常与以下内容有关：（1）实数与数轴上的点的对应关系；（2）函数与图像的对应关系；（3）曲线与方程的对应关系；（4）以几何元素和几何条件为背景建立起来的概念，如复数、三角函数等；（5）所给的等式或代数式的结构含有明显的几何意义。　　一数形结合思想方法的优点　　数形结合的思想方法是数学教学内容的主线之一，运用数形结合的思想，可以解决以下问题：　　1．解决集合问题　　在集合运算中常常借助于数轴、Venn图来处理集合的交、并、补等运算，从而使问题得以简化，使运算快捷明了。　　2．解决函数问题　　借助于图像研

3、究函数的性质是一种常用的方法。函数图像的几何特征与数量特征紧密结合，体现了数形结合的特征与方法。　　3．解决方程与不等式的问题　　处理方程问题时，把方程的根的问题看做是两个函数图像的交点问题；处理不等式时，从题目的条件与结论出发，联系相关函数，着重分析其几何意义，从图形上找出解题的思路。　　4．解决三角函数问题　　有关三角函数单调区间的确定或比较三角函数值的大小等问题，一般借助于单位圆或三角函数图像来处理，数形结合思想是处理三角函数问题的重要方法。　　5．解决线性规划问题　　线性规划问题是在约束条件下求目标函数的最值的问题。从图形上找思路恰好体现了数形结合思想的应用。　　6．解决数列问题　

4、　数列是一种特殊的函数，数列的通项公式以及前n项和公式可以看作关于正整数n的函数。用数形结合的思想研究数列问题是借助函数的图像进行直观分析，从而把数列的有关问题转化为函数的有关问题来解决。　　7．解决解析几何问题　　解析几何的基本思想就是数形结合，在解题中善于将数形结合的数学思想运用于对点、线、曲线的性质及其相互关系的研究中。　　8．解决立体几何问题　　立体几何中用坐标的方法将几何中的点、线、面的性质及其相互关系进行研究，可将抽象的几何问题转化为纯粹的代数运算。　　二用数形结合时应注意的几个问题　　“数形结合”直观、形象，可避免繁杂的计算、证明等，获得出奇制胜的解法。然而，它并不是“万能”

5、的。图形虽然直观、形象，但它只是一个部分，而不是全部，甚至有些图形是有误差的，并不准确，所以我们不能以点代面，不能简单地根据图形获取答案。就是要用到图形，我们在作图时或画草图时也要注意一些细节，不能马虎应付。用数形结合时要注意以下几个主要事项：　　1．精确作图，避免潦草作图而导致的错误　　在同一坐标系中作几个函数的图像来比较时，我们一定要注意函数图像的延伸趋势及伸展“速度”。因为我们画出的只是函数图像的一小部分，而不是全部。常言道“知人知面不知心”，同样的，我们从函数图像的部分难知道它的全部，在没画出来的部分图像是怎么样的呢？我们只有根据函数图像的延伸趋势以及伸展“速度”来判断了。　　2．

6、注意转化过程要等价，避免定义域扩大或缩小　　定义域是一个变量的最大范围，如果不注意转化过程是否是等价的过程，那么变量的定义域就有可能扩大或缩小了，这样，画出来的图像就会多出一部分或少了一角，而根据这样有误差的图像，做出来的结果是不准确的，那就是白做了这道题，所以注意转化过程要等价是关键的。不论是否注意到转化过程要等价，我们最好能做好一道题，就再用另一种方法验证一下所得到的答案是否准确，这样才会有信心地保证做完一题就一定正确。　　3．注意仔细观察图像，避免漏掉了一些可能的情形　　有些问题可从图像直接解得，但要经过认真地分析，而有些问题很难由图像直观而得，值得注意。我们要仔细地观察图像，看看这

7、些图像的位置关系是否都是合理的，是否漏掉了一些情况？我们只有做到不重不漏，才能保证所得到的答案是准确的。　　4．用数形结合解题尤其在证明问题时要避免逻辑循环　　“形”并不能作为证明的依据，遇到证明题时，在几何直观分析的同时，还要进行代数抽象的探索，并用严谨的数学语言写出证明过程的理论依据，这样才算做好证明题。应用数形结合时，“形”只是一种手段，一个工具，而不是理论依据。不论是怎样的题目，“形”只是我们思考问题的一种方式，