2013年全国高中数学联赛模拟卷(1)(一试+二试_附详细解答)

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1、2012年全国高中数学联赛模拟卷(1)第一试(考试时间：80分钟满分：120分)姓名：考试号：得分：一、填空题(本大题共8小题，每小题8分，共64分)1.不等式<2%+9的解集为.(1—J1+2兀)~2.过正方体外接球球心的截面截正方体所得图形可能为.①三角形②正方形③梯形④五边形⑤六边形3.直线kx-y=2与曲线71-(>J-1)2=

2、x

3、-l有两个不同的交点，则实数£的取值范围是4.复数z,使z3+z=2

4、z

5、2,则z的所有可能值为.5.所有的满足条件D°严+b的正整数对(a,b)的个数为.6.设u,b,c为方程x3-k｝x-k.=0的根(贝9土+1±2+1±£=.-

6、a-b-c7.将号码分别为1、2、…、9的九个小球放入一个袋中，这些小球仅号码不同，其余完全相同.甲从袋中摸出一个球，其号码为放回后，乙从此袋中再摸出一个球，其号码为方•则使不等式a-2b+10>0成立的事件发生的概率等于.8.已知人5C矢、ABC三内角，向量a=(cosA-B2屈in半)，忆

7、=VI.如果当C最大时,存在动点M,使得

8、MA

9、,

10、AB

11、,

12、MB

13、成等差数列，则型9最大值是AB二、解答题(本大题共3小题，第9题16分，第10、11题20分，共56分)119.对正整数h>2,记勺严工，求数列｛给｝中的最大值.10.给定正实数匕圆心为(a,b)的圆至少与抛

14、物线y=kx2有三个公共点，一个是原点(0,0),另两个点在直线y=d+b上，求a,方的值(用£表示).11.已知函数/(x)=«(

15、sinx

16、+1cosx

17、)-3sin2x-7,其中q为实数，求所有的数对(a,防(圧川*),使得函数=/(%)在区I'可(0,〃兀)内恰好有2011个零点.2012年全国高中数学联赛模拟卷(1)答案答案：②⑤，解：rti对称性可知，所得图形应为中心对称图形，且②⑤可以截得44提示：[-2,-一)u(—,2],曲线为两个半圆，直线过定点(0,-2),数形结合可得.答案：0,1f—1+2(,—1—2z解：z‘+z=2z2=2z・z,・°・z(+1

18、—2z)=0当z=0时，满足条件，当z#0时，z2+1—2z=0设z=a+bi(a,beR)，贝a2-h2+2ahi+-2(b>.由条件得aa>aa~]-bh'}=>a>bh~}=>^>bh~l+1,从而有ah>hh+h即hb

19、'{-hb']+a+h=aa-hb>aa-ab+b,整理得a+ab>aa-•尸=aa~[a-hb~')>a(l~',=a+a(a-)>a+ab>aa'x即aa~3<1,所以2<6Z<3.当a=2时，/?=1,不符合；当ci=3时，b=2(b=l不符合).综上，满足本题的正整数对仗力)只有(3,2),故只有1解.答案：屮+昵,由题意，=(X_6Z)(%_/?)(X_C)由此可得a+b+c=O,ab+bc+ca=-kt,abc=k2以及1-kx-k2=(l-a)(l-/?)(!-c)1+a1+b1+c3—(Q+b+c)—(ab+be+co)+3abc3+代+3氏11==!

20、-al-b1-c(l—d)(l—b)(l—c)1_代_&提示：甲、乙二人每人摸出一个小球都有9种不同的结果，故基本事件总数为9?=81个，由不等式a~2b+>0得2Z?9中每一个值，有3种;当E9时，a只能取9,有1种。于是，所求事件的概率为45+7+5+3+1二里<=>cos(A一B)=3cos(A+B)<=>2sinAs

21、inB=cosAcosBotanAtanB=—,22所以M是椭圆—+丄*=1上的动点.故点C(0,—c),设M(®),则4c23c-2

22、MC

23、2=x2+(y———cF=4c2—y~+y2—>J~2cyH——=—y~—V^cy+~~~,

24、y

25、S.2323当y=-屈c时,

26、AfC

27、2wav="I"c2,MQmax="曹c.即型£122V3+V2nuix49.解：经计算知a2=2,他=3,a^=a5=—,下面用数学归纳法证明：El,7+1”+11/?+11/?+1则如二——+—X-+—X—+•••+-—Xnn-2n-