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《2011年全国高中数学联赛模拟卷(1)(一试+二试,附详细解答)》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、2011年全国高中数学联赛模拟卷(1)第一试(考试时间:80分钟满分:120分)姓名:_____________考试号:______________得分:____________一、填空题(本大题共8小题,每小题8分,共64分)1.不等式的解集为 .2.过正方体外接球球心的截面截正方体所得图形可能为______________.①三角形②正方形③梯形④五边形⑤六边形3.直线与曲线有两个不同的交点,则实数k的取值范围是_________.4.复数,使,则的所有可能值为_________.5.所有的满足条件的正整数对的个数为.6.设为方
2、程的根(),则__.7.将号码分别为1、2、…、9的九个小球放入一个袋中,这些小球仅号码不同,其余完全相同.甲从袋中摸出一个球,其号码为,放回后,乙从此袋中再摸出一个球,其号码为.则使不等式成立的事件发生的概率等于.8.已知A,B,C为△ABC三内角,向量,.如果当C最大时,存在动点M,使得成等差数列,则最大值是_____.二、解答题(本大题共3小题,第9题16分,第10、11题20分,共56分)9.对正整数,记,求数列{an}中的最大值.10.给定正实数k,圆心为()的圆至少与抛物线有三个公共点,一个是原点(0,0),另两个点在直线上,求的值(
3、用表示).11.已知函数其中为实数,求所有的数对(a,n)(n∈N*),使得函数在区间内恰好有2011个零点.2011模拟卷(1)第7页共7页2011年全国高中数学联赛模拟卷(1)加试(考试时间:150分钟满分:180分)姓名:_____________考试号:______________得分:____________一、(本题满分40分)在中,是斜边上的高,记分别是△ADC,△BCD,△ABC的内心,在边上的射影为,的角平分线分别交于,且的连线与相交于,求证:四边形为正方形.ABCPQIDO1I1I2二、(本题满分40分)给定正数a,b,c,d
4、,证明:三、(本题满分50分)设,定义,,证明:当时,为整数,且为奇数的充要条件是四、(本题满分50分)试求最小的正整数使得对于任何个连续正整数中,必有一数,其各位数字之和是7的倍数.2011模拟卷(1)第7页共7页2011年全国高中数学联赛模拟卷(1)答案1.由得,原不等式可变为解得故原不等式的解集为2.答案:②⑤,解:由对称性可知,所得图形应为中心对称图形,且②⑤可以截得3.提示:,曲线为两个半圆,直线过定点(0,−2),数形结合可得.4.答案:0,1,解:=,∴当时,满足条件,当时,设∴,由(2)1)代入(1)整理得:2),则代入(1)得:
5、,经检验复数均满足条件.∴的所有可能值为0,1,.5.解:显然.由条件得,从而有即,再结合条件及以上结果,可得,整理得,从而即,所以.当时,,不符合;当时,(不符合).综上,满足本题的正整数对只有,故只有1解.6.答案:,由题意,由此可得 ,,以及7.提示:甲、乙二人每人摸出一个小球都有9种不同的结果,故基本事件总数为92=81个,由不等式a−2b+10>0得2b6、a可取5、6、7、8、9中每一个值,有5种;当b=8时,a可取7、8、9中每一个值,有3种;当b=9时,a只能取9,有1种。于是,所求事件的概率为8.解:,2011模拟卷(1)第7页共7页等号成立仅当.令7、AB8、=2c,因,所以M是椭圆上的动点.故点C(0,),设M(x,y),则9、MC10、2=x2+()2=.当y=时,11、MC12、2max=,13、MC14、max=.即max=.9.解:经计算知,,,下面用数学归纳法证明:当时,有假设,则所以数列{an}中的最大值是10.解:设⊙O:即抛物线与直线的两个交点坐标为,则,即①,这两点亦在圆上,即Þ同理,即②比较①15、,②知:11.解:首先,函数以为周期,且以为对称轴,即,其次,,∵关于对称,∴在及上的零点个数为偶数,要使在区间恰有2011个零点,则上述区间端点必有零点(1)若,则,考虑区间及上的零点个数.当时,,2011模拟卷(1)第7页共7页令则,解得(舍),,故在内有两解.当时,,令,则,解得(舍),(舍),故在内无解.因此,在区间内有三个零点.同理可得满足条件.加试题一.证明:不妨设≥,由且分别是其内心,得且,所以则①设的内切圆半径分别为,的三边长为,在边上的射影为,并且,则,所以,,,因此.且,②则四点共圆(由①知)所以,同理,∴,又由角平分线性质得16、ABCPQIDO1I1I2同理,另一方面,又,而,所以,同理,所以四边形为平行四边形,由②知四边形为正方形.二.解:由于问题的对称性,只
6、a可取5、6、7、8、9中每一个值,有5种;当b=8时,a可取7、8、9中每一个值,有3种;当b=9时,a只能取9,有1种。于是,所求事件的概率为8.解:,2011模拟卷(1)第7页共7页等号成立仅当.令
7、AB
8、=2c,因,所以M是椭圆上的动点.故点C(0,),设M(x,y),则
9、MC
10、2=x2+()2=.当y=时,
11、MC
12、2max=,
13、MC
14、max=.即max=.9.解:经计算知,,,下面用数学归纳法证明:当时,有假设,则所以数列{an}中的最大值是10.解:设⊙O:即抛物线与直线的两个交点坐标为,则,即①,这两点亦在圆上,即Þ同理,即②比较①
15、,②知:11.解:首先,函数以为周期,且以为对称轴,即,其次,,∵关于对称,∴在及上的零点个数为偶数,要使在区间恰有2011个零点,则上述区间端点必有零点(1)若,则,考虑区间及上的零点个数.当时,,2011模拟卷(1)第7页共7页令则,解得(舍),,故在内有两解.当时,,令,则,解得(舍),(舍),故在内无解.因此,在区间内有三个零点.同理可得满足条件.加试题一.证明:不妨设≥,由且分别是其内心,得且,所以则①设的内切圆半径分别为,的三边长为,在边上的射影为,并且,则,所以,,,因此.且,②则四点共圆(由①知)所以,同理,∴,又由角平分线性质得
16、ABCPQIDO1I1I2同理,另一方面,又,而,所以,同理,所以四边形为平行四边形,由②知四边形为正方形.二.解:由于问题的对称性,只
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