2011年全国高中数学联赛模拟卷(1)(一试+二试-附详细解答).doc

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1、全国高中数学联赛模拟卷(1)第一试(考试时间：80分钟满分：120分)姓名：_____________考试号：______________得分：____________一、填空题（本大题共8小题，每小题8分，共64分）1．不等式的解集为　　　　　　　　．3．直线与曲线有两个不同的交点，则实数k的取值范围是_________.．5．所有的满足条件的正整数对的个数为．6．设为方程的根（），则__.．8．已知A,B,C为△ABC三内角,向量,.如果当C最大时,存在动点M,使得成等差数列,则最大值是_____.二、解答题（本

2、大题共3小题，第9题16分，第10、11题20分，共56分）11．已知函数其中为实数，求所有的数对(a,n)(n∈N*),使得函数在区间内恰好有2011个零点．2011模拟卷（1）第7页共7页全国高中数学联赛模拟卷(1)加试(考试时间：150分钟满分：180分)姓名：_____________考试号：______________得分：____________一、（本题满分40分）在中，是斜边上的高，记分别是△ADC,△BCD,△ABC的内心，在边上的射影为，的角平分线分别交于，且的连线与相交于，求证：四边形为正方形．

3、ABCPQIDO1I1I2三、（本题满分50分）设，定义，，证明：当时，为整数，且为奇数的充要条件是四、（本题满分50分）试求最小的正整数使得对于任何个连续正整数中，必有一数，其各位数字之和是7的倍数.2011模拟卷（1）第7页共7页2011年全国高中数学联赛模拟卷(1)答案1．由得，原不等式可变为解得故原不等式的解集为2．答案：②⑤，解：由对称性可知，所得图形应为中心对称图形，且②⑤可以截得3．提示：,曲线为两个半圆，直线过定点（0，−2），数形结合可得.4．答案：0，1，解：=，∴当时，满足条件，当时，设∴，由(

4、2)1）代入(1)整理得：2），则代入(1)得：，经检验复数均满足条件.∴的所有可能值为0，1，.5．解：显然．由条件得，从而有即，再结合条件及以上结果，可得，整理得，从而即，所以．当时，，不符合；当时，（不符合）．综上，满足本题的正整数对只有，故只有1解．6．答案：，由题意，由此可得　，，以及7．提示：甲、乙二人每人摸出一个小球都有9种不同的结果，故基本事件总数为92=81个，由不等式a−2b+10>0得2b

5、×5=45种；当b=6时，a可取3、4、…、9中每一个值，有7种；当b=7时，a可取5、6、7、8、9中每一个值，有5种；当b=8时，a可取7、8、9中每一个值，有3种；当b=9时，a只能取9，有1种。于是，所求事件的概率为8．解:,2011模拟卷（1）第7页共7页等号成立仅当.令

6、AB

7、=2c,因,所以M是椭圆上的动点.故点C(0,),设M(x,y),则

8、MC

9、2＝x2+()2＝.当y＝时,

10、MC

11、2max=,

12、MC

13、max＝.即max＝.9．解：经计算知，，，下面用数学归纳法证明：当时，有假设，则所以数列{an}

14、中的最大值是10．解：设⊙O:即抛物线与直线的两个交点坐标为，则，即①,这两点亦在圆上，即Þ同理,即②比较①，②知：11．解：首先，函数以为周期，且以为对称轴，即，其次，，∵关于对称，∴在及上的零点个数为偶数，要使在区间恰有2011个零点，则上述区间端点必有零点（1）若，则，考虑区间及上的零点个数．当时，，2011模拟卷（1）第7页共7页令则，解得（舍），，故在内有两解．当时，，令，则，解得（舍），（舍），故在内无解．因此，在区间内有三个零点．同理可得满足条件．加试题一．证明：不妨设≥，由且分别是其内心，得且，所以则

15、①设的内切圆半径分别为，的三边长为，在边上的射影为，并且，则，所以，，，因此．且，②则四点共圆（由①知）所以，同理，∴，又由角平分线性质得ABCPQIDO1I1I2同理，另一方面，又，而，所以，同理，所以四边形为平行四边形，由②知四边形为正方形．二．解：由于问题的对称性,只要证明对于任何正数下式成立2011模拟卷（1）第7页共7页因为如果上式成立,则原式的左边不小于不失一般性,可以在的假设下证明上述不等式.如果,只要将不等式两边同除,令于是问题转化成下列被修改的问题：给定满足条件的正数证明此不等式证明如下：三．证明：

16、注意到得反复运用上式，得，其中，得，从而可知，因此是整数.（1）当时，由有奇数个奇数项知为奇数，所以为奇数.（2）当时，，故，所以为偶数（3）当时，，故，所以为偶数综上所述，命题成立，证毕.四．解：首先，我们可以指出12个连续正整数，例如994，995，…，999，1000，1001，…，1005，其中任一数的各位数字之和都不是7的倍数，因此，