12[1].2012年全国高中数学联赛模拟卷(六)(一试+二试_附详细解答)

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1、2012年全国高中数学联赛模拟卷(六)第一试(考试时间：80分钟满分：120分)姓名：_____________考试号：______________得分：____________一、填空题1、设，则．答案：．解：注意，当时，有，而，所以，……，，又因奇数，故．2、为实数，若对于满足的任何实数，都成立等式：，则．答案：．解：条件中蕴含，故所涉各式皆有意义；于所给等式中，取，得；再取，得，由此解得，．3、二次函数的图像经过点和，若其与轴的两个交点的距离满足，则函数的具体表达式为．答案：．解：由条件得，于是二次函数

2、又可表为，设其两根为，有，，，据，得，代入得．4、在用这八个数码所组成的全部无重复数字的八位数中，能被整除的有个．答案：.解：由于中有个奇数，故任意添加正负符号后其代数和皆为偶数．因中最大的四数和与最小的四数和之差不大于，于是符合条件的每个八位数，其奇数数位上的四个数码和必等于偶数数位上的四个数码和，由于，再将分成和为的两组，每组四个数，并考虑含的组，该组另三数的和为，只有四种情况：.对于每种情况，可将含的组排在奇数数位上或者偶数数位上，得到个数，四种情况下共得个符合条件的八位数．5、设数集，而两两之和构成集

3、合，则集合．7答案：或．解：设，由于集中有个元，即知两两的和互不相同，因，且，只有两种情况：．，则，由，得，进而得，；．，则，于是，得，进而得，．6、将正五角星的五个“角”（等腰的小三角形）分别沿其底边折起，使其与原所在平面成直二面角，则所形成的空间图形中，共有异面直线段对．答案：．解：五角星的外围是由条线段组成的封闭折线，将其按红、蓝间隔染色，（内圈的小正五边形不染色），则在这条线段中，任一对同色的线异面，而任一对异色的线共面，于是得到对异面直线段；又每条有色线段恰与底面小正五边形的三条边异面，这种情况共有

4、对；因此总共有个“异面直线段对”．7、对于给定的正整数，则由直线与抛物线所围成的封闭区域内（包括边界）的整点个数是．答案：．解：如图，直线与抛物线的交点、的坐标为，，设直线上位于区域内的线段的线段为，其坐标为，线段上的整点数为，故区域内的整点数为．8．若四面体的六条棱长分别为，则不同的形状有种．（若两个四面体经适当放置后可完全重合，则认为是相同的形状）.答案：种．解：将长为的线段记为，考虑：情形甲：共面，则该面的另一边必为若按顺时针方向组成三角形（如图，均指从形内向该面看三边的绕向，下同），则边不能取（否则将

5、使的三边为，矛盾）．若取，，有两种情况；若取，，也有两种情况．共得种情况．按反时针方向组成三角形，类似也得种情况．情形乙：异面，设，则其余四条边，每一条皆与相邻；于是所在面的另一条边必为，若按顺时针方向组成三角形，不妨设（如图），剩下两条边，不能取，故只有，得一种情况；若按反时针方向组成三角形，不妨设7（如图），剩下两条边，不能取，故只有，得一种情况；因此，本题中不同的情况共种．二、解答题9、试确定，是否存在2011个实数，满足：；．解：假若存在满足以上条件的2011个实数，设，则，去掉绝对值符号，并分开其正

6、、负部，可记为，，即有……，其中；是的某个排列．从而由条件，……所以，；　．………由于，；．　则；．由此，，相加得，，矛盾．因此这样的个实数不存在．10、设数列满足：．证明：，．证：若，则，结论显然；若，固化，改证以下命题：，有　……对归纳：时结论显然；设对于时式成立，即　……，当时，由于　……由得，即当时式成立，因此得证，今在中取，得．11、设，，证明不等式：．证明：，故即要证，……．据对称，可设，由于，……；同理有，……，7……注意，而，又由知，，即有，从而由++得，，即成立，当且仅当时取得等号．从而所证

7、结论成立．第二试（加试题）一．　以任意方式，把空间染成五种颜色（每点属于一色，每色的点都有）；．证明：存在一个平面，至少含有四种不同颜色的点；．是否一定存在五色平面？．证：若存在四色线,则含有的平面为所求；若存在三色线，则在线外可再取到一个第四色的点，过点和线的平面为所求；假若任一直线上都不多于两色，为此，用分别表示这五种颜色的点所构成的点集，今取点，过的直线记为，则直线上其余的点也属于或色，不妨设，直线上有点属于；在空间分别取点，过的平面记为，则直线与平面有公共点．若，则平面为所求；（这时平面上含有四色）.

8、若，在空间再取一点，过点和直线作平面，则平面和平面的交线为过的直线，在平面内，过点的两条直线和中，至少有一条要与直线相交，不妨设，（如图），则点属于或色，于是平面至少含有四色(或含；或含).．不一定存在五色面，例如，若将四面体的四个顶点分别染成四色，空间其余的点全染色，这时不存在五色面．二．如图，△中，分别是边上的点，在的延长线上分别取点，使，分别是△，△的垂心.证明：.证：如图，设线段的中点分别为