2019年全国高中数学联赛A卷一试解答(1).pdf

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1、2019年全国高中数学联合竞赛一试（A卷）参考答案及评分标准说明：1.评阅试卷时，请依据本评分标准.填空题只设8分和0分两档；其他各题的评阅，请严格按照本评分标准的评分档次给分，不得增加其他中间档次.2.如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分，解答题中第9小题4分为一个档次，第10、11小题5分为一个档次，不得增加其他中间档次．一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，满分64分．aa81.已知正实数a满足aa=(9)，则log(3)a的值为．a9答案：．16199解：由条件知9aa=8，故39aa=

2、⋅a=a16，所以log(3)a=．a162.若实数集合{1,2,3,}x的最大元素与最小元素之差等于该集合的所有元素之和，则x的值为．3答案：-．2解：假如x³0，则最大、最小元素之差不超过max{3,}x，而所有元素之和大于max{3,}x，不符合条件．故x<0，即x为最小元素．于是36-=+xx，解3得x=-．223.平面直角坐标系中，e是单位向量，向量a满足ae⋅=2，且aa£+5te对任意实数t成立，则a的取值范围是．答案：[5,25]．解：不妨设e=(1,0)．由于ae⋅=2，可设as=(2,)，则对任意实数t，有2

3、22245+=£+=saate5(2++ts)，22这等价于45+£ss，解得sÎ[1,4]，即sÎ[1,16]．2于是as=+Î4[5,25]．4.设A,B为椭圆G的长轴顶点，EF,为G的两个焦点，AB=4,AF=+23,P为G上一点，满足PEPF⋅=2，则DPEF的面积为．答案：1．22xy解：不妨设平面直角坐标系中G的标准方程为+=>>1(ab0)．22ab22根据条件得24aA==-==B,aabAF2+3，可知ab==2,1，且22EF=-22ab=3．由椭圆定义知PE+==PF24a，结合PEPF⋅=2得2222PE+=+-⋅=PF(PE

4、PF)21PEPF2=EF，1所以EPF为直角，进而SP=⋅⋅EPF=1．DPEF25.在1,2,3,,10中随机选出一个数a，在---1,2,3,,-10中随机选出一2个数b，则ab+被3整除的概率为．37答案：．1002解：数组(,)ab共有10=100种等概率的选法．2考虑其中使ab+被3整除的选法数N．若a被3整除，则b也被3整除．此时ab,各有3种选法，这样的(,)ab有2239=组．若a不被3整除，则aº1(mod3)，从而bº-1(mod3)．此时a有7种选法，b有4种选法，这样的(,)ab有7428´=组．37因此N=+=92837．

5、于是所求概率为．1006.对任意闭区间I，用M表示函数yx=sin在I上的最大值．若正数a满I足MM=2，则a的值为．[0,]aa[,2]a513答案：p或p．612p解：假如0<£a，则由正弦函数图像性质得0s<=£MainM，与[0,]aa[,2]a2条件不符．p1因此a>，此时M=1，故M=．于是存在非负整数k，使得[0,]a[,2]aa2251322kapp+£<£+a2kpp，①66且①中两处“£”至少有一处取到等号．513513当k=0时，得a=p或2a=p．经检验，a=pp,均满足条件．6661213æö5当k³1时，由于22kkpppp+<

6、+çç2÷÷，故不存在满足①的a．66çèø÷513综上，a的值为p或p．6127.如图，正方体ABCD-EFGH的一个截面经过顶点HGA,C及棱EF上一点K，且将正方体分成体积比为3:1的两部EFEKK分，则的值为．KFDC答案：3．AB解：记a为截面所在平面．延长AKBF,交于点P，则P在a上，故直线CP是a与平面BCGF的交线．设CP与FG交于点L，则四边形AKLC为截面．因平面ABC平行于平面KFL，且AKBFCL,,共点P，故ABC-KFL为棱台．不妨设正方体棱长为1，则正方体体积为1，结合条件知棱台ABC-KFL的1体积V=．4PKFFLPFh

7、HG设PF=h，则===．注意到PBPF,ABBCPBh+1EKLαF分别是棱锥PA-BC与棱锥PK-FL的高，于是111D==VVPABC---VPKFL=ABB⋅⋅-CPBKFF⋅⋅LPFC466AB13æöçæöhh3÷2++3h1=+-(1h)çç1çç÷÷÷÷=．61ççèøhh++÷÷÷6(1)2èø21EKAE1化简得31h=，故h=．从而===3．3KFPFh8.将6个数2,0,1,9,20,19按任意次序排成一行，拼成一个8位数（首位不为0），则产生的不同的8位数的个数为．答案：498．解：将2,0,1,9,20,19的首位不为0的排列的

8、全体记为A．易知A=´=55!600（这里及以下，X表示有限集X的