2016年全国高中数学联赛试题与解答A卷(一试)(word版)

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1、2016年全国高中数学联合竞赛一试（A卷）参考答案及评分标准说明：1.评阅试卷时，请依据本评分标准．填空题只设8分和0分两档；其他各题的评阅，请严格按照本评分标准的评分档次给分，不要增加其他中间档次．2.如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次给分，解答题中第9小题4分为一个档次，第10、11小题5分一个档次，不要增加其他中间档次．一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，共64分1．设实数满足，则的取值范围是答案：解：由可得，原不等式可变形为即，所以．又，故．2．设复数满足，，其中是虚数单位，分

2、别表示的共轭复数，则的模为答案：解：由运算性质，，因为与为实数，，故，，又，所以，从而因此，的模为．3．正实数均不等于1，若，，则的值为2016年全国高中数学联合竞赛一试第7页，共7页答案：解：令，，则，，条件化为，，由此可得，因此．4．袋子A中装有2张10元纸币和3张1元纸币，袋子B中装有4张5元纸币和3张1元纸币．现随机从两个袋子中各取出两张纸币，则A中剩下的纸币面值之和大于B中剩下的纸币面值之和的概率为答案：解：一种取法符合要求，等价于从A中取走的两张纸币的总面值小于从B中取走的两张纸币的总面值，从而．故只能从A中国取走两张1元纸币，相应的

3、取法数为．又此时，即从B中取走的两张纸币不能都是1元纸币，相应有种取法．因此，所求的概率为．5．设P为一圆锥的顶点，A，B，C是其底面圆周上的三点，满足=90°，M为AP的中点．若AB=1，AC=2，，则二面角M—BC—A的大小为答案：解：由=90°知，AC为底面圆的直径．设底面中心为O，则平面ABC，易知，进而．设H为M在底面上的射影，则H为AO的中点．在底面中作于点K，则由三垂线定理知，从而为二面角M—BC—A的平面角．因，结合与平行知，，即，这样．故二面角M—BC—A的大小为．6．设函数，其中是一个正整数．若对任意实数，均有，则的最小值为答

4、案：162016年全国高中数学联合竞赛一试第7页，共7页解：由条件知，其中当且仅当时，取到最大值．根据条件知，任意一个长为1的开区间至少包含一个最大值点，从而，即．反之，当时，任意一个开区间均包含的一个完整周期，此时成立．综上可知，正整数的最小值为．7．双曲线C的方程为，左、右焦点分别为、，过点作直线与双曲线C的右半支交于点P，Q，使得=90°，则的内切圆半径是答案：解：由双曲线的性质知，，．因=90°，故，因此从而直角的内切圆半径是8．设是1，2，…，100中的4个互不相同的数，满足则这样的有序数组的个数为答案：40解：由柯西不等式知，，等号成

5、立的充分必要条件是，即成等比数列．于是问题等价于计算满足2016年全国高中数学联合竞赛一试第7页，共7页…的等比数列的个数．设等比数列的公比，且为有理数．记，其中为互素的正整数，且．先考虑的情况．此时，注意到互素，故为正整数．相应地，分别等于，它们均为正整数．这表明，对任意给定的，满足条件并以为公比的等比数列的个数，即为满足不等式的正整数的个数，即．由于，故仅需考虑这些情况，相应的等比数列的个数为．当时，由对称性可知，亦有20个满足条件的等比数列．综上可知，共有40个满足条件的有序数组．二、解答题：本大题共3小题，共56分．解答应写出文字说明、证

6、明过程或演算步骤．9．（本题满分16分）在中，已知．求的最大值．解：由数量积的定义及余弦定理知，．同理得，，．故已知条件化为即．………………………………8分由余弦定理及基本不等式，得2016年全国高中数学联合竞赛一试第7页，共7页所以．………………………………12分等号成立当且仅当．因此的最大值是．……………16分10．（本题满分20分）已知是R上的奇函数，，且对任意，均有．求…的值．解：设=1，2，3，…），则．在中取，注意到，及为奇函数．可知……………………5分即，从而．……………………10分因此……………………20分11．（本题满分20分）

7、如图所示，在平面直角坐标系中，F是轴正半轴上的一个动点．以F为焦点，O为顶点作抛物线C．设P是第一象限内C上的一点，Q是轴负半轴上一点，使得PQ为C的切线，且｜PQ｜=2.圆均与直线OP相切于点P，且均与轴相切．求点F的坐标，使圆与的面积之和取到最小值．解：设抛物线C的方程是，点Q2016年全国高中数学联合竞赛一试第7页，共7页的坐标为，并设的圆心分别为．设直线PQ的方程为，将其与C的方程联立，消去可知．因为PQ与C相切于点P，所以上述方程的判别式为，解得．进而可知，点P的坐标为．于是．由｜PQ｜=2可得①……………………5分注意到OP与圆相切于

8、点P，所以．设圆与轴分别相切于点M，N，则分别是的平分线，故=90°．从而由射影定理知结合①，就有②……………………10分由共线，可得．