高数同济9.6多元函数微分学的几何应用

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1、§6.多元函数微分学的几何应用一、空间曲线的切线与法平面x(t)设空间曲线的方程y(t)(1)z(t)(1)式中的三个函数均可导.zMM(,,)xyz000,tt0;ttt.M0oyM(,,)x000xyyzzx一、空间曲线的切线与法平面x(t)设空间曲线的方程(1)zy(t)Mz(t)(1)式中的三个函数均可导.MoyM(,,)xyz000,tt0;xMx(,,)xyyzz,ttt.0000割线MM的方程为xx0y

2、y0zz0xyz一、空间曲线的切线与法平面xt()y()txxyyzz割线MM的方程为000z()txyz考察割线趋近于极限位置——切线的过程zM上式分母同除以t,xxyyzz000,Mxyzoytttxxyz割线的方向向量T,,,ttt当时MMt，0,割线的极限位置切线的方向向量T((),(),()),ttt000z一、空间曲线的切线与法平面Mx(t)设空间曲线的方程:

3、y(t)(1)Moy设M(x,y,z),对应于tt;z(t)x0000切线的方向向量T((t),(t),(t)),000xx0yy0zz0.曲线在M处的切线方程()t0()t0()t0切向量P38切线的方向向量称为曲线的切向量.T(),(),()ttt000法平面：过M点且与切线垂直的平面.法平面方程为：(t)(xx)(t)(yy)(t)(zz)0000000xxyyzz000xt()y()tzt().

4、(t)(t)(t)000(t)(xx)(t)(yy)(t)(zz)0000000tu例1求曲线:xecosudu，y2sint03tcost,z1e在t0处的切线和法平面方程.解当t0时，xyz0，，12t3txetcos,y2costtsin,z3,ex(0)1,y(0)2,z(0)3,x0y1z2切线方程,123法平面方程x2(y1)3(z2)0,即x2y3z80.z一、空间曲线的切线与法平面Mx

5、(t)M设空间曲线的方程y(t)(1)xoyz(t)切线的方向向量T((t),(t),(t)),000xx0yy0zz0.曲线在M处的切线方程()t0()t0()t0y()x情形1.空间曲线方程为,z()x可视为参数方程xxyφ(),xzψ()x在M(x0,y0,z0)处,T(1,(xx00),()),一、空间曲线的切线与法平面xtytzt()()()特殊地：y()x情形1.空间曲线方程为,z()x可视为

6、参数方程xx,yφ(x),zψ(x)在M(x,y,z)处,000切线的方向向量T(1,(xx00),()),xx0yy0zz0切线方程,1()x0()x0法平面方程(xx)()xyy()()xzz()0.00000一、空间曲线的切线与法平面xtytzt()()()y(x)特殊地：情形1.空间曲线方程为,z(x)在M(x,y,z)处,切线方程xx0yy0zz0000,1()x0()x0情形2.空间曲线方程为F(x,y,z)

7、0,G(x,y,z)0视x为自变量,方程组确定的隐函数为y=y(x),z=z(x),FFdyFdz0xydxzdxdydzT*1,,GGdyGdzdxdx0xydxzdx情形2.空间曲线方程为F(x,y,z)0,G(x,y,z)0视x为自变量,方程组确定的隐函数为y=y(x),z=z(x),FFdyFdzdydz0xydxzdxT*1,,dxdxGGdyGdz0xydxzdxJ0

8、FFFxyFFFFFzxzxxyGGGGGGT*zxxydyzxdzGGxy1，，FFFyFzFyFzdxyzdxFyFzGGGGyzGGyzyzGGyz情形2.空间曲线方程为F(x,y,z)0dydz,T*1,,G(x,y,z)0dxdx视x为自变量