高数(下)9.6 几何中的应用

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1、第六节复习目录上页下页返回结束一、空间曲线的切线与法平面二、曲面的切平面与法线多元函数微分学的几何应用第九章一、空间曲线的切线与法平面过点M与切线垂直的平面称为曲线在该点的法机动目录上页下页返回结束位置.空间光滑曲线在点M处的切线为此点处割线的极限平面.点击图中任意点动画开始或暂停1.曲线方程为参数方程的情况切线方程机动目录上页下页返回结束称为曲线的切向量.切线的方向向量:如个别为0,则理解为分子为0.不全为0,此处要求也是法平面的法向量,机动目录上页下页返回结束因此得法平面方程说明:若引进向量函数,则为r(

2、t)的矢端曲线,处的导向量就是该点的切向量.解所以在该点处的切向量为所求切线方程为法平面方程为即例1.例2.求圆柱螺旋线对应点处的切线方程和法平面方程.切线方程法平面方程即即解:由于对应的切向量为在机动目录上页下页返回结束,故2.曲线为一般式的情况光滑曲线当曲线上一点,且有时,可表示为处的切向量为机动目录上页下页返回结束则在点切线方程法平面方程有或机动目录上页下页返回结束也可表为法平面方程机动目录上页下页返回结束例3.求曲线在点M(1,–2,1)处的切线方程与法平面方程.切线方程解法1令则即切向量机动目录上页

3、下页返回结束法平面方程即机动目录上页下页返回结束解法2.方程组两边对x求导,得曲线在点M(1,–2,1)处有:切向量解得切线方程即法平面方程即点M(1,–2,1)处的切向量机动目录上页下页返回结束曲面方程:F(x,y,z)=0M(x0,y0,z0)是曲面上一点二、曲面的切平面与法线MT取一条通过点M的曲线:x=f(t)y=y(t)z=w(t):设t=t0对应点M则在点M的切向量为T=(f(t0),y(t0),w(t0))下面证明:此平面称为在该点的切平面.上过点M的任何曲线在该点的切线都在同一平

4、面上.证∵曲线在曲面上∴F[f(t),y(t),w(t)]≡0两边在t=t0处求导,得Fx(x0,y0,z0)f(t0)+Fy(x0,y0,z0)y(t0)+Fz(x0,y0,z0)w(t0)=0令T=(f(t0),y(t0),w(t0))n=(Fx(x0,y0,z0),Fy(x0,y0,z0),Fz(x0,y0,z0))TnTnM由于曲线的任意性,表明这些切线都在以n为法向的平面上.n=(Fx(x0,y0,z0),Fy(x0,y0,z0),Fz(x0,y0,z0))TnM法线方程切平面方程Fx

5、(x0,y0,z0)(x－x0)+Fy(x0,y0,z0)(y－y0)+Fz(x0,y0,z0)(z－z0)=0Fx(x0,y0,z0)Fy(x0,y0,z0)Fz(x0,y0,z0)x－x0y－y0z－z0==切平面方程法线方程令F(x,y,z)=f(x,y)－z特别,曲面方程为显式z=f(x,y)Fx=fx,Fy=fy,Fz=－1法向量n=(fx,fy,－1)fx(x0,y0)(x－x0)+fy(x0,y0)(y－y0)－(z－z0)=0fx(x0,y0)x－x0==fy(x0,y0)y－y0－1z－z0切

6、平面上点的竖坐标的增量曲面z=f(x,y)在M处的切平面方程为全微分的几何意义z－z0=fx(x0,y0)(x－x0)+fy(x0,y0)(y－y0)z=f(x,y)在(x0,y0)的全微分法向量用将表示法向量的方向角,并假定法向量方向分别记为则向上,复习目录上页下页返回结束法向量的方向余弦：例4.求球面在点(1,2,3)处的切平面及法线方程.解:所以球面在点(1,2,3)处有:切平面方程即法线方程法向量令机动目录上页下页返回结束解所求切平面方程为(x－1)－2(y+2)+3(z－3)=0即x－2y+3z－14

7、=0所求法线方程为求球面x2+y2+z2=14在点M0(1,－2,3)处的切平面和法线方程.令F(x,y,z)=x2+y2+z2－14则n=(Fx,Fy,Fz)=(2x,2y,2z)n=(2,－4,6)M0(1,－2,3)x－11==y+2－2z－33例5.解设(x0,y0,z0)为曲面上的切点由于切平面平行于已知平面,得求曲面x2+2y2+3z2=21平行于平面x+4y+6z=0切平面方程.法向量n=(2x0,4y0,6z0)∴2x0=y0=z0又因为切点(x0,y0,z0)满足曲面的方程求得x0=±1∴切点

8、为±(1,2,2)例6.故法向量n=(1,4,6)切点为±(1,2,2)切平面方程:化简,得1(x－1)+4(y－2)+6(z－2)=01(x+1)+4(y+2)+6(z+2)=0x+4y+6z=±211.空间曲线的切线与法平面切线方程法平面方程1)参数式情况.空间光滑曲线切向量内容小结机动目录上页下页返回结束切线方程法平面方程空间光滑曲线切向量2)一般式情况.机动目录上页下页返回结束