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1、二、方程组所确定的隐函数组及其导数隐函数存在定理还可以推广到方程组的情形.由F、G的偏导数组成的行列式称为F、G的雅可比(Jacobi)行列式.以两个方程确定两个隐函数的情况为例,即定理3.的某一邻域内具有连续偏设函数则方程组③的单值连续函数且有偏导数公式:①在点②的某一邻域内可唯一确定一组满足条件满足:导数；例4.设解:方程组两边对x求导，并移项得求由题设故有分别由下列两式确定:又函数有连续的一阶偏导数,1.设解:两个隐函数方程两边对x求导,得(2001考研)解得因此2.设是由方程和所确定的函数,求解:分别在各方程两端对x求导,得(99考研)第六节一、空间曲线的切线与
2、法平面二、曲面的切平面与法线多元函数微分学的几何应用第八章一、空间曲线的切线与法平面过点M与切线垂直的平面称为曲线在该点的法位置.空间光滑曲线在点M处的切线为此点处割线的极限平面.1.曲线方程为参数方程的情况切线方程此处要求也是法平面的法向量,切线的方向向量:称为曲线的切向量.如个别为0,则理解为分子为0.不全为0,因此得法平面方程例1.求圆柱螺旋线对应点处的切线方程和法平面方程.切线方程法平面方程即即解:由于对应的切向量为在,故2.曲线为一般式的情况光滑曲线当曲线上一点,且有时,可表示为处的切向量为例2.求曲线在点M(1,–2,1)处的切线方程与法平面方程.切线方程
3、解法1令则即切向量法平面方程即解法2.方程组两边对x求导,得曲线在点M(1,–2,1)处有:切向量解得二、曲面的切平面与法线设有光滑曲面通过其上定点对应点M,切线方程为不全为0.则在且点M的切向量为任意引一条光滑曲线下面证明:此平面称为在该点的切平面.上过点M的任何曲线在该点的切线都在同一平面上.证:在上,得令由于曲线的任意性,表明这些切线都在以为法向量的平面上,从而切平面存在.曲面在点M的法向量法线方程切平面方程曲面时,则在点故当函数法线方程令特别,当光滑曲面的方程为显式在点有连续偏导数时,切平面方程切平面上点的竖坐标的增量曲面在M处的切平面方程为当光滑
4、曲面的方程为显式时,例3.求球面在点(1,2,3)处的切平面及法线方程.解:所以球面在点(1,2,3)处有:切平面方程即法线方程法向量令1.求曲线在点(1,1,1)的切线解:点(1,1,1)处两曲面的法向量为因此切线的方向向量为由此得切线:法平面:即与法平面.2.如果平面与椭球面相切,提示:设切点为则(二法向量平行)(切点在平面上)(切点在椭球面上)例4.确定正数使曲面在点解:二曲面在M点的法向量分别为二曲面在点M相切,故又点M在球面上,于是有相切.与球面,因此有证明曲面上任一点处的切平面都通过原点.提示:在曲面上任意取一点则通过此3.设f(u)可微,证明原点坐标满
5、足上述方程.点的切平面为4.证明曲面与定直线平行,证:曲面上任一点的法向量取定直线的方向向量为则(定向量)故结论成立.的所有切平面恒
