成贤教材-高数B下§8.7多元函数微分学的几何应用

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1、§8.7多元函数微分学的几何应用8.7.1空间曲线的切线与法平面定义1：设是空间曲线L上的一点，是L上的另一点。当点沿曲线L趋近于点时，割线的极限位置，称为曲线L在点处的切线。过点且与切线垂直的平面，称为曲线L在点处的法平面。下面建立曲线的切线与法平面方程。设空间曲线为L：，且、、可微。当及时，L上对应的两点为及，则割线的方程为，上式分母除以，得，当点时，有，对上式取极限，得①即为曲线。切线的方向向。易知，曲线为。②例1．求螺旋线上对应于的点M处的切线与法平面方程。解：当时，点M的坐标为。∵，，，∴，，，14∴螺旋线在点M处的切线方程为，即；螺旋线在点M处的法平面方程

2、为，即。注：（1）只要与成比例的向量均可作为切线的方向向量。（2）若曲线方程为，，则以参数，曲线处的切线方程。③例2．求曲线L：在对应于的点的切线方程与法平面方程。解：以参数，得曲线L的参数方程：，当时，点M的坐标为。∵，，，∴切线方程为；法平面方程为，即。例3．求抛物柱面及圆柱面相交所成的空间曲线在处的切线方程和法平面方程。解：曲线的参数方程为，则，，，点对应于，故，，，14故切线方程为，即。法平面方程为，即。8.7.2曲面的切平面与法线定义2若上过点的任意一条光滑曲线切线都在同一个平面上，则称该平面为曲面切平面，且垂直于切平面的直线称为曲面法线。设曲面的方程为，，

3、并设函数的偏导数在该点连续且不同时为零。过点，设其方程为，，，对应于点。由于L在曲面上，故。由全导数公式得，即有，令，，则上式可写为，故。由于处的切线的方向向量，而L是曲面上任何一条的曲线，因此上式表明，上的任何曲线的切线都与同一个向量垂直，因而都在法向量的同一平面内，该平面即为的切平面，且其方程为，④曲面在的法线方程为。⑤若曲面方程由显函数给出，令，于是，14　∵，，，　∴曲面在点处的切平面方程为，⑥曲面在点处的法线方程为。⑦⑥式右端恰好是函数在点的全微分，在几何上表示曲面在点处的切平面上点的竖坐标的增量。例4．求圆锥面在点（3，4，5）处的切平面及法线方程。解：设

4、，，，，，∴圆锥面在点（3，4，5）处的切平面方程为，即。法线方程为，即。例5．问球面上哪一点的切平面与平面平行？并求此切平面方程。解：令，则，，，设切点为，则该点处切平面的法向量为，∵切平面与平面平行，它们的法向量平行，∴，解得，，∵点在球面上，∴，即，解得，，，14∴切点为和，相应的切平面方程为和。即和。例6．设可微，试证曲面上各点的法向量总垂直于常向量。证明：设，则曲面在任一点处的法向量为，∵，∴，故曲面上各点的法向量总垂直于常向量。例7．求曲线在点处的切线方程与法平面方程。解：曲面在点处的法向量为，平面的法向量为。∴所求切线的方向向量，切线方程为，法平面方程为

5、，即。§8.8多元函数的极值8.8.1极值定义设函数在点的某邻域内有定义，对于该邻域内异于点的点，若满足不等式，则称函数在点有极大值；若满足不等式，则称函数在点有极小值。极大值和极小值统称为极值，使函数取得极值的点。称为极14值点例如，函数在点处有极小值。函数在点处有极大值。二元函数的极值的概念可推广到元函数。定理1（极值存在的必要条件）设函数在点具有偏导数，且在点处有极值，则必有，。证明：不妨设在点处取得极大值。则对于点的某邻域内异于点的点，都有。特殊地，取，的点，则应有。这表明一元函数在点处取得极大值，故必有。类似地可证。定理1可推广到元函数。同时满足，的点称为函

6、数的驻点。注意：可导函数的极值点驻点例如，点为函数的驻点，但不是函数的极值点。定理2（极值存在的充分条件）设函数在点的某邻域内具有一阶及二阶连续偏导数，又，，记，，，则在点处是否取得极值的条件如下：（1）当时有极值，且当，当；（2）当时没有极值；（3）当时可能有极值，也可能没有极值。14求函数的极值的步骤（1）求偏导数，，，，；（2）解方程组，求出一切驻点；（3）对于每一驻点，求出，，；（4）定出的符号，按定理2的结论判定出是否是极值、是极大值还是极小值。例1．求函数的极值。解：，∴驻点为（0，0），（1，1）。。ABCD结论（0，0）0-30-不是极值点（1，1）6

7、-36+极小值点∴函数在点（1，1）有极小值f（1，1）＝-1。8.8.2最大值及最小值有界闭区域上连续的函数一定有最大值和最小值。若使函数取得最大值或最小值的点在区域的内部，则这个点必然是函数的驻点，或者是一阶偏导数中至少有一个不存在的点，然而最大值和最小值也可能在该区域的边界上取得。因此，求有界闭区域上二元函数的最大值和最小值时，首先要求出函数在内的驻点、一阶偏导数不存在的点处的函数值及该函数在的边界上的最大值和最小值，比较这些值，其中最大者就是该函数在上的最大值，最小者就是该函数在上的最小值。在实际问题中，如果根据问题的性质，知道函数在区域内一