成贤教材-高数B下§6.6傅里叶级数

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1、§6.6傅里叶级数6.6.1三角函数系的正交性一、三角函数系：二、三角函数系的正交性：三角函数系中任何两个不同函数的乘积上的积分等于零，即；；；；。每个函数自乘上的积分都不是零，如；；。6.6.2函数展开为傅里叶级数一、欧拉—傅里叶公式设以为周期的函数可展开成三角级数并设级数（1）在上可逐项积分，那么系数与存在什么关系？如何求出？利用三角函数系的正交性，对（1）式两边在上积分：，故。用乘以（1）式两边后积分：11，∴。同理用乘以（1）式两边后积分，得。可由统一给出：（2）式称为欧拉—傅里叶公式。2、傅里叶级数设在上可积，则以（2）式中的作为系数而得到的三角级数称

2、为函数的傅里叶级数，记为～。（3）的傅里叶系数。例1．以为周期，且时，求的傅里叶级数。解：，，，∴。3．傅里叶级数的收敛性定理1（狄利克雷（）充分条件）（简称狄氏条件）设以为周期，在上满足：（1）连续或只有有限个第一类间断点；11（2）只有有限个极值点；则的傅里叶级数在上收敛，且其和函数为如例1：时，，时，。把在上展开为傅里叶级数的步骤为（1）运用狄氏条件判断能否展开为傅里叶级数；（2）求出傅里叶系数；（3）写出傅里叶级数并注明在何处收敛于；（4）画出和的图形（至少画出三个周期），并写出。例2．设以为周期，且，将展开为傅里叶级数，。解：满足狄氏条件，由收敛定理知

3、在上收敛。，11，.的傅里叶级数展开式为，当时，级数收敛于；当时，级数收敛到于。的图形与其傅里叶级数的和函数的图形分别如下：的图形的图形例3．设以为周期，且，将展开为傅里叶级数，。解：，11。的傅里叶级数展开式为，.当时，级数收敛于级数；当时，级数收敛于。的图形与其傅里叶级数的和函数的图形分别如下：的图形的图形11若只在上有定义，且满足收敛定理的条件，则将延拓为以为周期的函数，即定义一个函数，使它在上以为周期，在上，然后将展开为傅里叶级数，再限制在上，便得的傅里叶级数展开式。根据收敛定理，这级数在处收敛于。称为的周期延拓。例4．将函数展开成傅里叶级数。解：将在上

4、作周期延拓，，，，∵在内连续，当时，，故由收敛定理得。当时，，得。当时，，得。§6.7正弦级数和余弦级数116.7.1奇函数和偶函数的傅里叶级数定理设是周期为的函数，在一个周期上可积，则（1）当为奇函数时，它的傅里叶系数为①，.（2）当为偶函数时，它的傅里叶系数为②，.定理说明：若为奇函数，则其傅里叶级数是只含正弦项的正弦级数.③若为偶函数，则其傅里叶级数是只含常数项和余弦项的余弦级数.④例1．将周期函数（是正常数）展开成傅里叶级数。解：∵是周期为的偶函数，∴。而。得.6.7.2函数展开成正弦级数或余弦级数设在上满足收敛定理的条件，1．将在上展开成正弦级数：令则

5、是上的奇函数，称为的奇式延拓。将在上展开成傅里叶级数，这个级数必定是正弦级数，再将制在上，此时，便得的正弦级数展开式，其中11，。2．将在上展开成余弦级数：令则是上的偶函数，称为的偶式延拓。将在上展开成傅里叶级数，再限制在上，便得的余弦级数展开式，其中，.注：具体计算和时，只用到和在上的积分，故不必写出延拓函数。例2．将函数（）分别展开成正弦级数和余弦级数。解：（1）求正弦级数，，，∴（）当和时，级数收敛于0，它不代表原来函数的值。()()()11（2）求余弦级数，，，，∴（）。()()§6.8以为周期的函数的傅里叶级数设周期为满足狄氏条件，令，则，变为，，则以

6、为周期，在上的傅里叶系数为11，，。，从而定理2设周期为的函数在上满足狄氏条件，则其中，。　　　若为上的奇函数时，～，其中；若为上的偶函数，～，其中。例3．将以4为周期的函数展开成傅里叶级数。解：周期为4，。，，11。故，；当，时，级数收敛于。和函数的图象如下：例4．把在上展开成以4为周期的正弦级数，并作出其和函数在上的图形。解：将先作奇式延拓，再作周期延拓，，周期为4。，，故。和函数即11