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1、第六节一、空间曲线的切线与法平面二、曲面的切平面与法线多元函数微分学的几何应用第九章1复习:平面曲线的切线与法线已知平面光滑曲线切线方程法线方程若平面光滑曲线方程为故在点切线方程法线方程在点有有因2一、空间曲线的切线与法平面过点M与切线垂直的平面称为曲线在该点的法位置.空间光滑曲线在点M处的切线为此点处割线的极限平面.点击图中任意点动画开始或暂停3（1）曲线方程为参数方程的情况切线方程（两点式）4此处要求也是法平面的法向量,切线的方向向量:称为曲线的切向量.如个别为0,则理解为分子为0.不全为0,因此得法平面方程切线方程5例1.求圆柱螺旋线对应点处的切线方程和
2、法平面方程.切线方程法平面方程即即解:由于对应的切向量为在,故6（2）曲线为一般式的情况光滑曲线当曲线上一点,且有时,可表示为处的切向量为切线方程法平面方程7例2：求曲线在点M（1，2，4）处的切线方程和法平面方程。解：取为参数，则切线方程：法平面方程：即8解.方程组两边对x求导,得曲线在点M(1,–2,1)处有:切向量得在点M(1,–2,1)处的切线方程与法平面方程.代入点M(1,–2,1)例3.求曲线9切线方程即法平面方程即点M(1,–2,1)处的切向量10二、曲面的切平面与法线设有光滑曲面通过其上定点对应点M0,切线方程为不全为0.则在且点M的切向量
3、为任意引一条光滑曲线下面证明:此平面称为在该点的切平面.上过点M的任何曲线在该点的切线都在同一平面上.11证:在上,得令由于曲线的任意性,表明这些切线都在以为法向量的平面上,从而切平面存在.12曲面在点M的法向量法线方程切平面方程13曲面时,则在点故当函数法线方程令特别,当光滑曲面的方程为显式在点有连续偏导数时,切平面方程14法向量用将法向量的方向余弦：表示法向量的方向角,并假定法向量方向分别记为则向上,15例4.求椭球面在点(1,2,3)处的切平面及法线方程.解:所以椭球面在点(1,2,3)处有:切平面方程即法线方程法向量令16例5：求曲面在点处
4、的切平面和法线方程。解：设x=1y=1切平面方程：法线方程：17例6求曲面的一个切平面，使此切平面与直线垂直。解已知直线的方向向量为设曲面上点的切平面与直线垂直，其在该点处的法向量与平行有则曲面切点切平面方程法向量即18例7.求曲线在点(1,1,1)的切线点(1,1,1)处两平面的法向量分别为因此切线的方向向量为由此得切线:法平面:即与法平面方程.已知曲线即在曲面上，（1，1，1）处的切线的方向向量与曲面的切平面的法向量、解：也在平面上。则它在点平面的法向量均垂直。19上求一点,使该点处的法线垂直于例8在曲面并写出该法线方程.提示:设所求点为则法线方程为利用得
5、平面法线垂直于平面点在曲面上法线方程为201.空间曲线的切线与法平面切线方程法平面方程1)参数式情况.空间光滑曲线切向量内容小结21空间光滑曲面曲面在点法线方程1)隐式情况.的法向量切平面方程2.曲面的切平面与法线22空间光滑曲面切平面方程法线方程2)显式情况.法线的方向余弦法向量23
