高等代数_一题多解_与_一解多关_相关思考

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1、第14卷第4期西安文理学院学报:自然科学版Vol．14No．4，2011年10月JournalofXianUniversityofArts＆Science(NatSciEd)Oct．2011文章编号:1008-5564(2011)04-0014-03高等代数“一题多解”与“一解多关”相关思考112刘花，刘国新，钟艳(1．西南大学数学与统计学院，重庆400715;2．重庆市大学城第一中学校，重庆401331)摘要:在文章的第一部分，给出高等代数的一个习题并用多种方法证明它．文章的第二部分给出另一个习

2、题并提供涵盖高等代数许多分支内容的一个证明．通过阐述高等代数各分支内容间的内在联系，为高等代数的教学提供一些思想方法．关键词:高等代数;一题多解;一解多关中图分类号:O177．91文献标识码:AReflectionsontheIssuesof“Multi－solution”and“Multi－perspectiveProblem”inAdvancedAlgebra112LIUHua，LIUGuo-xin，ZHONGYan(DepartmentofMathematics，SouthwestUnive

3、rsity，Chongqing400715，China;2．No．1MiddleSchoolofUniversitycityinChongqing，Chongqing401331，China)Abstract:Inthefirstpartofthearticle，wediscussmultiplesolutionstoonealgebraproblem．Inthesecondpart，theproblemaddressedisprovidedwithasolutionrelatedtomultip

4、leissuesinadvancedalgebra．Inillustratingtheinternalrelationsbetweenthevariousbranchesofad-vancedalgebra，wemakeanefforttoprovidemultipleperspectivesontheteachingofadvancedalgebra．Keywords:advancedalgebra;multi－solution;multi－perspectiveproblem高等代数是数学专业

5、本科生一门重要的基础课．它的主干内容之间联系非常密切．在学习中，大一新生特别不适应概念、定理之间的相互联系．解决问题时，往往只见树木，不见森林．教师常常因为照顾课堂进度，讲解例题单一而导致学生思维局限，思路狭隘，不能发现所学知识的有机联系．我们试图通过高等代数中几个涉及“一题多解与一解多关”的典型例子，阐述高等代数各分支内容的内在联系．为高等代数的教学提供一些思想方法．1高等代数中的一题多解所谓一题多解，主要体现在没有唯一的、固定的模式，而是以其多样化的答案为明显的特征．可以通过纵横发散、知识串联

6、、综合沟通，达到举一反三、融会贯通的目的．是培养学生发散思维的好方法．解题收稿日期:2011-05-21基金项目:西南大学第二届创新基金资助项目(0714002)作者简介:刘花(1987—)，女，云南个旧人，西南大学数学与统计学院2010级硕士研究生．研究方向:密码学．第4期刘花，等:高等代数“一题多解”与“一解多关”相关思考15时，教师引导学生从一个问题出发，根据所给条件，突破固有的解题思路和思维定势，去寻找不同的解题方法，才能达到预期效果．1900年8月，德国教学家希尔伯特在第一届国际数学家大

7、会上作了题为《数学问题》的著名演讲，他提出的第17个问题是正定形式的平方表示．这个问题在多项式上的体现就是下面的例1．例1若fi(x)∈R［x］，i=1，2，…，t，则存在g(x)，h(x)∈R［x］使得t222∑fi(x)=g(x)+h(x)．i=1事实上，上述结论是成立的．而且可以有多种方法来证明其成立．为此，先给出以下引理及其证明过程．t2引理1已知实系数多项式f(x)=∑i=1fi(x)首项系数a＞0且无实根，则存在g(x)，h(x)使22得f(x)=g(x)+h(x)．证明f(x)∈R［

8、x］且无实根，由代数学基本定理，设α1，α1，α2，α2，…，αn，αn为f(x)的全部虚根，其中αi与αi，i=1，2，…，n，共轭．因此有f(x)=a(x－α1)(x－α1)…(x－αn)(x－αn)．令(x－α1)…(x－αn)=φ(x)+i(x)，则(x－α1)…(x－αn)=φ(x)－i(x)．22因此f(x)=a(φ(x)+i(x))(φ(x)－i(x))=a(φ(x)+(x))=2222(槡aφ(x))+(槡a(x))=g(x)+h(x)引理2若i(x)