高等数学下12.5函数的幂级数展开式的应用

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1、§5.函数的幂级数展开式的应用一、近似计算Aaaa,12nAaaa,12n差raa.nnn12两类问题:1.给定项数,求近似值并估计精度;2.给出精度,确定项数.关健:通过估计余项,确定精度或项数.一、近似计算n1莱布尼茨定理如果交错级数满足条件:(1)unn1(ⅰ)uu(n1,2,3,);(ⅱ)limu0,nn1nn则级数收敛,且其和su,其余项r的绝对值1nru.nn1两类问题:1.给定项数,求近似值并估计精度;2.给出精度,确定项数.差rnaann12

2、.常用方法:1.若余项是交错级数,则可用余和的首项来解决;2.若不是交错级数,则放大余和中的各项,使之成为等比级数或其它易求和的级数,从而求出其和.一、近似计算常用方法:1.若余项是交错级数,则可用余和的首项来解决;2.若不是交错级数,则放大余和中的各项,使之成为等比级数或其它易求和的级数,从而求出其和.5例1计算e的近似值,使其误差不超过10.解x112ne1,xxx2!n!11令x1,得e11,2!n!5一、近似计算计算e的近似值,使其误差不超过10.11得e11,2!n!余和:11

3、111rn(1)(nn1)!(2)!(1n)!n2(2nn)*(3)1111(1)11(1n)!n1(1n)2(1n)!1nn!1n115只要5欲使r10,10,nnn!55即nn!10,而88!32256010,111e112.718282!3!8!121n315nxsinxxxx(1)3!5!(2n1)!runn13x0例2利用sinxx计算sin9的近似值,3!并估计误差.013si

4、n9sin(),解2020620r1515152()(0.2)10,5!201203000000sin90.1570790.0006460.1564335其误差不超过10.二、计算定积分原函数不能用初等函数表示直接计算定积分困难x2sinx1例如e,,,xxln解法被积函数被积函数定积分的近似值定积分的近似值展开成幂级数展开成幂级数逐项积分逐项积分121n315nxsinxxxx(1)3!5!(2n1)!1sinx4例3计算dx的近似值,精确到10.0xsinx111246解

5、1xxxx(,)x3!5!7!1sinx111dx10x33!55!77!收敛的交错级数114第四项10,77!30000取前三项作为积分的近似值,得1sinx11dx10.94610x33!55!三、求数项级数的和11arctanarctan281.利用级数和的定义求和:1tg()tgtg例4求arctan的和.2n21tgtgn1111解sarctan,12821111sarctanarctan122828111128

6、arctan2811arctg111281228arctan,3111求arctan的和.arctanarctan11282n2n1tgtg282tg()11sarctan,1tgtg123282121s3arctanarctanarctan318arctan3,3182114k1318假设sk1arctan,kk11k11ksarctanarctanarctankk22arctan,kk2k2k1k1112kk2()nns

7、1narctanarctan1故arctan.n142n24n12.阿贝尔法(构造幂级数法):2n11xn2例5求n的和.exx1(xx,)n!22!n!n12nn解令s()xx,(,)n1n!2nn(1)n1s()xnnnxnxnnn(1)xnxnn1n!n1n!n1n!n1(1n)!nxnn(1)nx2nn(1)n2x2()x2(1ex)x2exxxn!n1n!n1n!n1n1

8、xx1nxxn1xxex(1n)!0n!n1(1n)!n1n2xxexxx(1),s()xxexe21n1113s()e2(1)e.n224n1n!22四、欧