函数的幂级数展开式的应用(IV)

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1、2021/7/261常用函数的幂级数展开式2021/7/262第五节函数的幂级数展开式的应用第十二章一、近似计算三、欧拉公式二、微分方程的幂级数解法2021/7/263一、近似计算例1计算的近似值,使精确到解:已知故令得于是有2021/7/264在上述展开式中取前四项,2021/7/265(取的近似值,精确到解:例2计算定积分2021/7/266则n应满足则所求积分近似值为欲使截断误差2021/7/267二、微分方程的幂级数解法当微分方程的解不能用初等函数或其积分表达时我们就要寻求其它解法本节我们简单地介绍微分方程的幂级数解法其中函数f(xy)是(xx0)

2、、(yy0)的多项式f(xy)a00a10(xx0)a01(yy0)aim(xx0)l(yy0)m这时可设所求特解可展开为xx0的幂级数yy0a1(xx0)a2(xx0)2an(xx0)n其中a1a2an是待定的系数把所设特解代入微分方程中便得一恒等式比较这恒等式两端xx0的同次幂的系数就可定出常数a1a2从而得到所求的特解幂级数解法基本思想解于是所求解的幂级数展开式的开始几项为例1求方程yxy2满足y

3、x00的特解这时x00y00故设

4、ya1xa2x2a3x3a4x4把y及y的幂级数展开式代入原方程得a12a2x3a3x24a4x35a5x4x(a1xa2x2a3x3a4x4)2xa12x22a1a2x3(a222a1a3)x4由此比较恒等式两端x的同次幂的系数得定理如果方程yP(x)yQ(x)y0中的系数P(x)与Q(x)可在R

5、x00y

6、x01的特解解这里P(x)0Q(x)

7、x在整个数轴上满足定理的条件因此所求的解可在整个数轴上展开成x的幂级数ya12a2x3a3x24a4x3nanxn1ya0a1xa2x2a3x3a4x4y2a2x32a3x43a4x2n(n1)anxn2把y及y代入方程yxy0得2a232a3x(43a41)x2(54a5a2)x3(65a6a3)x4[(n2)(n1)an2an1]xn+...=0.由y

8、x01得由条件y

9、x00得a00a11于

10、是a20a30a50a60a80a902021/7/2612二、欧拉公式(Eulerformula)则称①收敛,且其和为绝对收敛收敛.若收敛,若对复数项级数①绝对收敛则称①绝对收敛.由于,故知2021/7/2613的指数函数为易证它在整个复平面上绝对收敛.当y=0时,它与实指数函数当x=0时,的幂级数展式一致.定义复变量2021/7/2614（欧拉公式）（也称欧拉公式）利用欧拉公式可得复数的指数形式则2021/7/2615据此可得(德莫弗公式)利用幂级数的乘法,不难验证特别有2021/7/2616欧拉(1707–1783)瑞士数学家.他写了大

11、量数学经典著作,如《无穷小分析引论》,《微还写了大量力学,几何学,变分法教材.他在工作期间几乎每年都完成800页创造性的论文.他的最大贡献是扩展了微积分的领域,要分支(如无穷级数,微分方程)与微分几何的产生和发展奠定了基础.分学原理》,《积分学原理》等,为分析学的重在数学的许多分支中都有以他的名字命名的重要常数,公式和定理.