函数的幂级数展开式的应用(I)

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1、第五节一、近似计算三、欧拉公式函数幂级数展开式的应用第十二章二、计算定积分一、近似计算定义1:最后结果精确到(或保留到)小数点后k位.说明:定义2:常用方法:1.若级数是交错级数，则2.若不是交错级数，则放大余项中的各项，使之成为等比级数或其它易求和的级数，从而求出其和.两类问题:1.给定项数，求近似值并估计精度;2.给出精度，确定项数.关健:通过估计余项，确定精度或项数.例1.解:故令x=1,有此级数收敛速度太慢!若取前8项部分和,即则误差为解:则其误差例2.令x=1,有若取前n+1项和,即如取n=10,即其误差为例3.解:由此可知计算量太大,必须用收敛较快的级数来代

2、替它.考虑到舍入误差,计算时应取五位小数:例4.解:其误差为例5.解:先把角度化为弧度(弧度)误差不超过收敛的交错级数二、计算定积分解法:逐项积分展开成幂级数定积分的近似值被积函数例6.解:则n应满足即取前四项的和作为近似值,得欲使(截断)误差例5.解:∵∴所给积分不是广义积分.若定义被积函数在x=0处的值为1,则它在积分区间上连续,且有幂级数展开式:三、欧拉(Euler)公式则称①收敛,且其和为绝对收敛收敛.若收敛,若对复数项级数:①绝对收敛则称①绝对收敛.定义:复变量的指数函数为当y=0时,它与实指数函数当x=0时,的幂级数展式一致.（欧拉公式）（也称欧拉公式）利用

3、欧拉公式可得复数的指数形式则据此可得(德莫弗公式)利用幂级数的乘法,不难验证特别有作业P293:1(2);2(2).欧拉(1707–1783)瑞士数学家.他写了大量数学经典著作,如《无穷小分析引论》,《微还写了大量力学,几何学,变分法教材.他在工作期间几乎每年都完成800页创造性的论文.他的最大贡献是扩展了微积分的领域,要分支(如无穷级数,微分方程)与微分几何的产生和发展奠定了基础.分学原理》,《积分学原理》等,为分析学的重在数学的许多分支中都有以他的名字命名的重要常数,公式和定理.